Binomická rovnice

Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru ${\displaystyle x^{n}-a=0}$ s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.

Řešení binomické rovnice

Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
${\displaystyle \left|x^{n}\right|\left(\cos n\varphi +{\text{i}}\sin n\varphi \right)=|a|\left(\cos \omega +{\text{i}}\sin \omega \right)\,;\;x,a\in \mathbb {C} ,n\in \mathbb {N} }$

Úhel ${\displaystyle \omega }$ komplexní číslo ${\displaystyle a}$ s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé ${\displaystyle x}$

${\displaystyle |x|={\sqrt[{n}]{|a|}}}$

Porovnáním úhlů a odvozením řešení je

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\cos n\varphi &=&\cos \omega \\n\varphi &=&\omega +2k\pi \\\varphi &=&{\dfrac {\omega +2k\pi }{n}}\end{array}}}$

Diskuse

V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu ${\displaystyle \omega }$. Pokud je číslo ${\displaystyle a}$ kladné reálné, poté uvažujeme úhel ${\displaystyle \omega =0}$. Naopak, když je ${\displaystyle a}$ reálné záporné, uvažujeme úhel ${\displaystyle \omega =\pi }$. Pokud uvažujeme, že ${\displaystyle a}$ má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:

Řešení

Binomická rovnice má celkem ${\displaystyle n}$ řešení. Při jejich hledání se za koeficient ${\displaystyle k}$ dosazují postupně hodnoty množiny ${\displaystyle \{0;1;\cdots ;n-1\}}$. Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného ${\displaystyle n}$-úhelníka. (Vrcholy takovného ${\displaystyle n}$-úhelníka pro rovnici ${\displaystyle x^{n}-1=0}$ leží na jednotkové kružnici v Gaussově rovině a navíc všechny tyto ${\displaystyle n}$-úhelníky mají jeden z vrcholů v bodě ${\displaystyle [1;0]}$, čili jedno z řešení je vždy ${\displaystyle x_{1}=1}$.) Samotné řešení je

1. možnost ${\displaystyle \omega =0}$

${\displaystyle x_{1,2,\cdots ,n}={\sqrt[{n}]{|a|}}\left[\cos \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)+{\text{i}}\sin \left({\frac {2k\pi }{n}}\right)\right]}$

2. možnost ${\displaystyle \omega =\pi }$

${\displaystyle x_{1,2,\cdots ,n}={\sqrt[{n}]{|a|}}\left[\cos \left({\frac {2k\pi +\pi }{n}}\right)+{\text{i}}\sin \left({\frac {2k\pi +\pi }{n}}\right)\right]}$

3. možnost neurčitého ${\displaystyle \omega }$ a komplexního ${\displaystyle a}$

${\displaystyle x_{1,2,\cdots ,n}={\sqrt[{n}]{|a|}}\left[\cos \left({\frac {2k\pi +\omega }{n}}\right)+{\text{i}}\sin \left({\frac {2k\pi +\omega }{n}}\right)\right]}$