Reissnerova–Nordströmova metrika

Obecná teorie relativity
Základní pojmy
Obecný princip relativity Teorie relativity Vztažná soustava Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Světočára Riemannova geometrie
Jevy
Gravitace Gravitační pole Gravitační studna Gravitační čočka Gravitační vlny Gravitační rudý posun Rudý posuv Modrý posuv Dilatace času Shapirův efekt Geodetický efekt Strhávání časoprostoru Gravitační potenciál Gravitační kontrakce Gravitační kolaps Gravitační singularita Horizont událostí Nahá singularita Černá díra Bílá díra Časoprostor (Prostor, Čas, Prostoročasový diagram, Minkowského prostor, Červí díra)
Rovnice, formalismus
Einsteinovy rovnice gravitačního pole Mathisson–Papapetrou–Dixon Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení
Schwarzschild Reissner–Nordström Gödel Kerr Kerr–Newman
Vědci
Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen Walker Kerr Chandrasekhar Penrose Hawking Taylor Hulse van Stockum Taub Newman Čchiou Thorne

Reissnerova–Norströmova metrika je ve fyzice a astronomii statické řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole, odpovídající gravitačnímu poli nabitého, nerotujícího, sféricky symetrického tělesa o hmotnosti M.

Metrika byla objevena německým fyzikem Hansem Reissnerem a finským fyzikem Gunnarem Nordströmem.

Čtveřici podobných řešení lze shrnout do následující tabulky:

kde Q reprezentuje elektrický náboj a J reprezentuje moment hybnosti.

Metrika

Ve sférických souřadnicích (t, r, θ, φ), je lineární element Reissnerovy–Nordströmovy metriky

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}\,d\Omega _{(2)}^{2},}$

kde c je rychlost světla, t je časová souřadnice (měřeno podle stacionárních hodin v nekonečnu), r je radiální souřadnice, ${\displaystyle \textstyle d\Omega _{(2)}^{2}}$ je dvousféra definovaná podle

${\displaystyle d\Omega _{(2)}^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

r_S je Schwarzschildův poloměr tělesa daný

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

a r_Q je charakteristická délková škála daná

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}.}$

Zde 1/4πε₀ je Coulombův zákon. V limitě kde náboj Q (nebo v ekvivalentním případě, délková škála r_Q) klesne na nulu, používáme Schwarzschildovu metriku. Klasická Newtonova teorie gravitace může být získána v limitním případě, když poměrr_S/r jde k nule. V limitě, kde oba poměry r_Q/r a r_S/r jdou k nule, dostáváme Minkowského metriku pro speciální teorii relativity.

V praxi je poměr r_S/r často extrémně malý. Například Schwarzschildův poloměr Země je zhruba 9 milimetrů, zatímco geostacionární dráha na níž obíhají některé družice má poloměr r který je zhruba 4 miliardkrát větší, tedy 42 164 kilometrů. I na povrchu Země činí v tomto případě oprava Newtonovy gravitace jen jeden díl z miliardy. Poměr se stává velkým jen v blízkosti masivních a ultra hustých objektů jako jsou černé díry a neutronové hvězdy.

Nabité černé díry

Ačkoli se nabité černé díry s r_Q ≪ r_S podobají Schwarzschildovým černým dírám, mají dva horizonty: vnější horizont událostí a vnitřní Cauchyho horizont. ^[1] Stejně jako v případě Schwarzschildovy metriky, horizont událostí pro prostoročas je umístěn tam, kde metrický komponent g^rr diverguje; což je když

${\displaystyle 0=1/g^{rr}=1-{\frac {r_{\mathrm {S} }}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}.}$

Tato rovnice má dvě řešení:

${\displaystyle r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{s}\pm {\sqrt {r_{s}^{2}-4r_{Q}^{2}}}\right).}$

Tyto soustředné horizonty událostí se stávají degenerovanými pro 2r_Q = r_S, což odpovídá extrémní černé díře. Předpokládá se, že černé díry s 2r_Q > r_S v přírodě neexistují, protože by obsahovaly takzvané nahé singularity. Jejich existence by byla v rozporu s hypotézou kosmické cenzury formulovanou Rogerem Penrosem o níž se, i přes absenci přímých důkazů, předpokládá, že je pravdivá. Teorie se supersymetrií obvykle garantují, že tyto superextrémní černé díry nemohou existovat.

Elektromagnetický potenciál je

${\displaystyle A_{\alpha }=\left(Q/r,0,0,0\right).}$

Pokud jsou v teorii zahrnuty magnetické monopóly, potom zobecnění zahrnující magnetický náboj P se získá nahrazením Q² podle Q² + P² v metrice a včetně podmínky Pcos θ dφ v elektromagnetickém potenciálu.

Reference

• REISSNER, H. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie. Annalen der Physik. 1916, s. 106–120. DOI 10.1002/andp.19163550905. Bibcode 1916AnP...355..106R. (German) Je zde použita šablona {{Cite journal}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
• NORDSTRÖM, G. On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory. Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam. 1918, s. 1201–1208. Je zde použita šablona {{Cite journal}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Reissner–Nordström metric na anglické Wikipedii.