Sigma algebra

${\displaystyle \sigma }$-algebra (sigma-algebra, též ${\displaystyle \sigma }$-těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix ${\displaystyle \sigma }$ v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Definice

Systém ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ podmnožin množiny ${\displaystyle X}$ nazveme ${\displaystyle \sigma }$-algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.:

1. ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {A}}}$
2. jestliže ${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {A}})}$, pak ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$
3. jestliže ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, pak ${\displaystyle X\setminus A\in {\mathcal {A}}}$

Vlastnosti

• ${\displaystyle \sigma }$-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků, tj.: ${\displaystyle X\in {\mathcal {A}}}$, což dostaneme dosazením prázdné množiny za ${\displaystyle A}$ v poslední části definice
• ${\displaystyle \sigma }$-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků, tj. pro ${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {A}})}$ platí ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$

Použití

Koncept ${\displaystyle \sigma }$-algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná funkce, která je ${\displaystyle \sigma }$-aditivní a má na prázdné množině hodnotu ${\displaystyle 0}$. Pravděpodobnost je míra, která má na množině ${\displaystyle X}$ hodnotu ${\displaystyle 1}$.

Měřitelná množina

V teorii míry se dvojice ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, kde ${\displaystyle X}$ je libovolná množina a ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je ${\displaystyle \sigma }$-algebra na ${\displaystyle X}$ nazývá měřitelný prostor a množiny ${\displaystyle {\mathcal {A}}\in {\mathcal {A}}}$ nazýváme měřitelné množiny.

Související články

• ${\displaystyle \sigma }$-okruh