Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung |
Dichtefunktion
|
Verteilungsfunktion
|
Parameter | p – Dimension der Zufallsvariablen m – verknüpft mit der Stichprobengröße |
Träger | if ![{\displaystyle p=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29a2f2fb3f642618036ed7a79712202e7ada924) otherwise. |
Die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung[1] ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1931 von Harold Hotelling erstmals beschrieben wurde.[2] Sie ist eine Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung.
Definition
Die quadratische Form
![{\displaystyle t^{2}=n({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })\sim T(p,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee92bba79f830f8732fe8bb4b36fe671031565ef)
folgt einer Hotellingschen T-Quadrat-Verteilung mit
einer Anzahl von Punkten
ist ein Spaltenvektor mit
Elementen
ist eine
-Kovarianzmatrix
Eigenschaften
Es sei
eine Zufallsvariable mit einer multivariaten Normalverteilung und
(unabhängig von
) habe eine Wishart-Verteilung mit einer nicht-singulären Kovarianzmatrix
und mit
. Dann ist die Verteilung von
:
, Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung mit Parametern
und
.
Für die F-Verteilung
gilt:
.
Unter der Annahme, dass
![{\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6059f1a9fd7e618284db998e1f97b39a1bc23b1)
-Spaltenvektoren mit reellen Zahlen sind.
![{\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}=(\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n})/n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fed0c64f04dc3635951eeb6a3ebf481d59fa116)
sei der Mittelwert. Die positiv definite
-Matrix
![{\displaystyle {\mathbf {W} }=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'/(n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb45d9219f3d957bedb3cf7c24a023fc79deff5)
sei ihre Stichproben-Kovarianzmatrix. (Die Transponierte einer Matrix
sei mit
bezeichnet).
sei ein
-Spaltenvektor (bei Anwendung ein Schätzer des Mittelwertes). Dann ist die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung
![{\displaystyle t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6071b2252c66f13139b21fe68b222701378e2162)
hat eine enge Beziehung zum quadrierten Mahalanobis-Abstand.
Wenn
unabhängig sind und
und
wie oben definiert sind, dann hat
eine Wishart-Verteilung mit
Freiheitsgraden, so dass[3]
![{\displaystyle \mathbf {W} \sim W_{p}(V,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f267367ec10f4ea823a7dbf95686b4fe503a78a)
und ist unabhängig von
und
.
Daraus folgt
![{\displaystyle t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })\sim T^{2}(p,n-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8558a4d1750029d6db37d92ffbf49b246d17938c)
Einzelnachweise
- ↑ Hotelling's T². Glossary of statistical terms. In: International Statistical Institute. 1. Juni 2011, abgerufen am 25. September 2020 (englisch).
- ↑ H. Hotelling (1931). The generalization of Student’s ratio, Ann. Math. Statist., 2(3), S. 360–378, doi:10.1214/aoms/1177732979 JSTOR:2957535.
- ↑ K.V. Mardia, J.T. Kent, and J.M. Bibby (1979) Multivariate Analysis, Academic Press, ISBN 0-12-471250-9.
Diskrete univariate Verteilungen
Kontinuierliche univariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen