Praktische Zahl

In der Zahlentheorie ist eine praktische Zahl (von englisch practical number, auch panarithmic number) eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit der Eigenschaft, dass jede kleinere Zahl als Summe von paarweise verschiedenen echten Teilern von ${\displaystyle n}$ geschrieben werden kann.

Der Mathematiker A. K. Srinivasan hat diese Zahlen erstmals im Jahr 1948 erwähnt.^[1][2]

• Die Zahl ${\displaystyle n=28}$ hat die echten Teiler ${\displaystyle 1,2,4,7}$ und ${\displaystyle 14}$. Man kann alle kleineren Zahlen als Summe dieser echten Teiler schreiben:

${\displaystyle {\begin{array}{lllllll}\mathbf {1} =1,&\mathbf {2} =2,&\mathbf {3} =2+1,&\mathbf {4} =4,&\mathbf {5} =4+1,&\mathbf {6} =4+2,&\mathbf {7} =7,\\\mathbf {8} =7+1,&\mathbf {9} =7+2,&\mathbf {10} =7+2+1,&\mathbf {11} =7+4,&\mathbf {12} =7+4+1,&\mathbf {13} =7+4+2,&\mathbf {14} =14,\\\mathbf {15} =14+1,&\mathbf {16} =14+2,&\mathbf {17} =14+2+1,&\mathbf {18} =14+4,&\mathbf {19} =14+4+1,&\mathbf {20} =14+4+2,&\mathbf {21} =14+7,\\\mathbf {22} =14+7+1,&\mathbf {23} =14+7+2,&\mathbf {24} =14+7+2+1,&\mathbf {25} =14+7+4,&\mathbf {26} =14+7+4+1,&\mathbf {27} =14+7+4+2\\\end{array}}}$

Offenbar kann man alle Zahlen ${\displaystyle m<28}$ als Summe dieser echten Teiler schreiben. Somit ist ${\displaystyle n=28}$ eine praktische Zahl.

• Die Zahl ${\displaystyle n=26}$ hat die echten Teiler ${\displaystyle 1,2}$ und ${\displaystyle 13}$. Man kann die folgenden kleineren Zahlen als Summe dieser echten Teiler schreiben:

1=1, 2=2, 3=2+1, …

Aber schon die Zahl 4 kann man nicht mehr als Summe dieser echten Teiler schreiben, weil die Voraussetzung Summe von paarweise verschiedenen echten Teiler gebrochen werden müsste, nämlich 4=2+2. Somit ist die Zahl ${\displaystyle n=26}$ keine praktische Zahl.

• Die folgenden Zahlen sind die kleinsten praktischen Zahlen (die 198. praktische Zahl ist ${\displaystyle n=1000}$):

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 176, 180, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 224, 228, 234, 240, 252, …, 984, 990, 992, 1000, 1008, … (Folge A005153 in OEIS)

• Eine praktische Zahl, die defizient ist, ist leicht defizient (die Summe aller echten Teiler einer praktischen Zahl ist also höchstens 1 kleiner als die Zahl selbst).^[1]
• Alle Zahlen der Form ${\displaystyle n=2^{k-1}(2^{k}-1)}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,k\geq 2}$ sind praktische Zahlen.^[2][3]
• Alle geraden vollkommenen Zahlen sind praktische Zahlen.^[1]
• Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ das Produkt von Potenzen (ungleich Null) der ersten ${\displaystyle k}$ Primzahlen. Dann gilt:

${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ist eine praktische Zahl.

Insbesondere ist jede Primfakultät (also jedes Produkt der ersten ${\displaystyle k}$ Primzahlen mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$) eine praktische Zahl.^[1]

• Alle Hochzusammengesetzte Zahlen sind praktische Zahlen.
• Alle Zahlen der Form ${\displaystyle 2^{k}}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, also jede Zweierpotenz, sind praktische Zahlen.^[1]
• Die einzige ungerade praktische Zahl ist ${\displaystyle n=1}$.

Beweis:

Angenommen, es sei ${\displaystyle m>2}$ eine ungerade Zahl. Dann hat diese Zahl die echten Teiler ${\displaystyle 1}$ und irgendwelche größeren Teiler ${\displaystyle k\geq 3}$. Somit kann man aber die Zahl 2 nicht als Summe ihrer echten Teiler darstellen. Somit kann ${\displaystyle m}$ keine praktische Zahl sein. ${\displaystyle \Box }$

• Sei ${\displaystyle n\geq 4}$ eine praktische Zahl. Dann gilt:

${\displaystyle n}$ ist ein Vielfaches von 4 oder 6 (oder von beiden Zahlen).

Diese Aussage wurde von A. K. Srinivasan bewiesen.^[1]

• Das Produkt von zwei praktischen Zahlen ist wieder eine praktische Zahl. Die Menge der praktischen Zahlen ist daher abgeschlossen bezüglich der Multiplikation.

Beweis: siehe^[4]

• Sei ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ eine praktische Zahl und ${\displaystyle d}$ ein Teiler von ${\displaystyle n}$. Dann gilt:

${\displaystyle n\cdot d}$ ist ebenfalls eine praktische Zahl.

• Das kleinste gemeinsame Vielfache (kurz kgV) von zwei praktischen Zahlen ist wieder eine praktische Zahl.
• Es existieren unendlich viele Fibonacci-Zahlen, welche praktische Zahlen sind. Man nennt sie praktische Fibonacci-Zahlen. Die kleinsten lauten:

1, 2, 8, 144, 46368, 832040, 14930352, 267914296, 4807526976, 1548008755920, 498454011879264, 160500643816367088, 2880067194370816120, 51680708854858323072, 16641027750620563662096, 5358359254990966640871840, … (Folge A124105 in OEIS)

• Für jede positive rationale Zahl ${\displaystyle m\in \mathbb {Q} ^{+}}$ gilt:

Es gibt eine Darstellung von ${\displaystyle m}$ als Summe von endlich vielen Stammbrüchen mit paarweise verschiedenen Nennern, wobei jeder Nenner eine praktische Zahl ist (eine sogenannte Zerlegung in ägyptische Brüche).^[5][6]

Mit anderen Worten: Sei ${\displaystyle m\in \mathbb {Q} ^{+}}$. Dann gilt:

${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{q_{i}}}}$ mit paarweise verschiedenen praktischen Zahlen ${\displaystyle q_{i}}$ und ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

Beispiel 1:

Sei ${\displaystyle m={\frac {25}{31}}}$. Dann kann man diese Zahl mittels eines speziellen Verfahrens zerlegen in die vier Stammbrüche

${\displaystyle m={\frac {25}{31}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{18}}+{\frac {1}{1116}}}$

Diese Zerlegung ist eine Zerlegung in ägyptische Brüche. Man erhält die Nenner ${\displaystyle 2,4,18}$ und ${\displaystyle 1116}$. Tatsächlich sind diese vier Nenner allesamt praktische Zahlen.

Nicht immer erhält man mit diesem Verfahren sofort praktische Zahlen, aber es gibt immer eine solche Darstellung:

Beispiel 2:

Sei ${\displaystyle m={\frac {14}{17}}}$. Dann kann man diese Zahl mittels desselben Verfahrens zerlegen in die vier Stammbrüche

${\displaystyle m={\frac {14}{17}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {5}{68}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{476}}}$

Diese Zerlegung ist keine Zerlegung in ägyptische Brüche. Man erhält die Nenner ${\displaystyle 2,4,14}$ und ${\displaystyle 476}$. Es sind zwar drei dieser vier Nenner praktische Zahlen (${\displaystyle 2,4}$ und ${\displaystyle 476}$), aber ${\displaystyle 14}$ ist keine praktische Zahl. Somit muss man den Bruch ${\displaystyle {\frac {5}{68}}}$ mit Gewalt auf den nächstbesten Nenner bringen, der eine praktische Zahl ist, nämlich ${\displaystyle {\frac {1}{16}}}$. Letztendlich erhält man folgende ägyptische Brüche:

${\displaystyle m={\frac {14}{17}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{96}}+{\frac {1}{1632}}}$

Man erhält die Nenner ${\displaystyle 2,4,16,96}$ und ${\displaystyle 1632}$. Tatsächlich sind diese fünf Nenner allesamt praktische Zahlen.

• Jede gerade natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ kann dargestellt werden als Summe von zwei praktischen Zahlen ${\displaystyle n_{1}}$ und ${\displaystyle n_{2}}$.^[7][8]
• Es gibt unendlich viele Tripel (=Dreiertupel) ${\displaystyle (n-2,n,n+2)}$ von praktischen Zahlen.^[7][8]
• Es gibt immer mindestens eine praktische Zahl im Intervall ${\displaystyle [x^{2},(x+1)^{2}]}$ für alle positiven reellen Zahlen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$.^[9]
• Sei ${\displaystyle p(x)}$ die Anzahl der praktischen Zahlen, welche kleiner oder gleich ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$ sind. Dann gilt:^[10]

${\displaystyle p(x)={\frac {c\cdot x}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\right)\right)}$ mit ${\displaystyle x\geq 3}$ und einer Konstanten ${\displaystyle c>0}$

• Es wird vermutet, dass es unendlich viele Fünfertupel ${\displaystyle (n-6,n-2,n,n+2,n+6)}$ von praktischen Zahlen gibt.^[8]

Eine primitive praktische Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ist eine praktische Zahl, die eine der beiden folgenden Eigenschaften besitzt:

• Sie ist quadratfrei.
• Wenn man sie durch einen ihrer Primfaktoren teilt, dessen Exponent größer als ${\displaystyle 1}$ ist, darf das Ergebnis keine praktische Zahl mehr sein.

• Die Zahl ${\displaystyle n=28}$ ist, wie weiter oben schon gezeigt wurde, eine praktische Zahl. Sie ist nicht quadratfrei, weil ${\displaystyle n=28=2^{2}\cdot 7}$ ist. Wenn man sie durch einen ihrer Primfaktoren teilt, dessen Exponent größer als ${\displaystyle 1}$ ist, also durch ${\displaystyle p=2}$, erhält man ${\displaystyle {\frac {28}{2}}=14}$, welche keine praktische Zahl ist. Somit ist ${\displaystyle n=28}$ eine primitive praktische Zahl.
• Die Zahl ${\displaystyle n=108}$ ist eine praktische Zahl. Ihre Primfaktorzerlegung ist ${\displaystyle n=108=2^{2}\cdot 3^{3}}$. Wenn man sie durch einen ihrer Primfaktoren teilt, dessen Exponent größer als ${\displaystyle 1}$ ist, also durch ${\displaystyle p=2}$ oder durch ${\displaystyle p=3}$, erhält man ${\displaystyle {\frac {108}{2}}=54}$ beziehungsweise ${\displaystyle {\frac {108}{3}}=36}$, welche beide noch immer praktische Zahlen sind. Somit ist ${\displaystyle n=108}$ keine primitive praktische Zahl.
• Die kleinsten primitiven praktischen Zahlen sind die folgenden (es gibt genau 61 davon, welche kleiner oder gleich 1000 sind):

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460, 462, 464, 476, 496, 510, 522, 532, 546, 558, 570, 580, 620, 644, 666, 690, 714, 740, 744, 798, 812, 820, 858, 860, 868, 870, 888, 930, 966, 984, 1032, … (Folge A267124 in OEIS)

• Jede Primfakultät (also jedes Produkt der ersten ${\displaystyle k}$ Primzahlen mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$) ist eine primitive praktische Zahl.^[1]

• Eric W. Weisstein: Practical Number. In: MathWorld (englisch).
• Melfi, Practical numbers

1. ↑ ^{a b c d e f g} A. K. Srinivasan: Practical numbers. Current Science 17, 1948, S. 179–180, abgerufen am 1. Januar 2019. 
2. ↑ ^{a b} Ross Honsberger: Mathematische Edelsteine. Vieweg, 1981, S. 112, abgerufen am 1. Januar 2019. 
3. ↑ Eric W. Weisstein: Practical Number. In: MathWorld (englisch).
4. ↑ Maurice Margenstern: Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures. (PDF) Journal of Number Theory 37, 1991, S. 1–36, abgerufen am 1. Januar 2019. 
5. ↑ Zhi-Wei Sun: A Conjecture on Unit Fractions Involving Primes. (PDF) Nanjing University, Department of Mathematics, 2015, S. 1–15, abgerufen am 1. Januar 2019. 
6. ↑ David Eppstein: Egyptian fractions with practical denominators. 2016, abgerufen am 1. Januar 2019. 
7. ↑ ^{a b} Giuseppe Melfi: On two conjecture about practical numbers. (PDF) Journal of Number Theory 56 (1), 1996, S. 205–210, abgerufen am 1. Januar 2019. 
8. ↑ ^{a b c} Giuseppe Melfi: A survey on practical numbers. (PDF) Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino, 53, 1995, S. 347–359, abgerufen am 1. Januar 2019. 
9. ↑ Miriam Hausman, Harold N. Shapiro: On Practical Numbers. Communications on Pure and Applied Mathematics, 37 (5), 1984, S. 705–713, abgerufen am 1. Januar 2019. 
10. ↑ Andreas Weingartner: Practical numbers and the distribution of divisors. The Quarterly Journal of Mathematics, 66 (2), 2015, S. 743–758, abgerufen am 1. Januar 2019.