Trisektrix

Maclaurins Trisektrix für a=1: x ( x 2 + y 2 ) = ( 3 x 2 − y 2 ) {\displaystyle x(x^{2}+y^{2})=(3x^{2}-y^{2})}

Eine Trisektrix (abgeleitet aus dem Lateinischen von tri für drei und sectus für geteilt) ist eine Kurve, die das (exakte) Dritteln beliebiger Winkel mit Zirkel und Lineal ermöglicht. Das Dritteln eines beliebigen Winkels ist mit Zirkel und Lineal alleine nicht möglich, lässt man jedoch als (einziges) weiteres Hilfsmittel eine Trisektrix zu, so wird die Dreiteilung beliebiger Winkel möglich. Ermöglicht eine solche Kurve nicht nur das Dritteln eines Winkels, sondern allgemeiner die Teilung in n gleich große Teile, so spricht man auch von einer Sektrix.

Die ältesten Beispiele für eine Trisektrix sind bereits seit der Antike bekannt, zu ihnen gehören die Trisektrix des Hippias und die Spirale des Archimedes, die beide zudem auch Sektrizen sind. Bekannt ist vor allem auch die Trisektrix von Maclaurin, die in der Literatur häufig als Standardbeispiel für eine Trisektrix angegeben wird. Sie lässt sich durch die Gleichung x ( x 2 + y 2 ) = a ( 3 x 2 − y 2 ) {\displaystyle x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})} beschreiben und geht auf den Mathematiker Colin Maclaurin (1698–1746) zurück.

Weitere Beispiele:

Trisektrix
  • Tschirnhausen-Kubik/Catalansche Trisektrix ( y 2 = x 3 + 3 x 2 {\displaystyle y^{2}=x^{3}+3x^{2}} )
  • Limaçon-Trisektrix ( ( x 2 + y 2 − 2 b x ) 2 − b 2 ( x 2 + y 2 ) = 0 , b ∈ R + {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2bx)^{2}-b^{2}(x^{2}+y^{2})\,=\,0\,,b\in \mathbb {R} ^{+}} )
  • Trisektrix von Longchamps
  • Parabel (als Trisektrix)
  • Hyperbel (als Trisektrix)
  • Zykloide von Ceva
Sektrix
  • Quadratrix von Tschirnhaus
  • Sinuskurve
  • Sektrix von Maclaurin
  • Sektrix von Ceva
  • Sektrix von Delanges

Siehe auch

Literatur

  • Steven Schwartzmann: The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA, 1994, ISBN 0-88385-511-9 (Auszug (Google))
Commons: Trisectrix – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • Jim Loy: Trisection of an Angle. Part VI – Cheating (using curves other than circles) (Memento vom 4. November 2013 im Internet Archive)
  • Trisektrix auf einer archivierten Webseite der Uni Lüneburg
  • Regina Bruischütz: Winkeldreiteilung – Konstruktion mit zusätzlichen Hilfsmitteln
  • Eric W. Weisstein: Trisectrix. In: MathWorld (englisch).
  • Trisection using Special Curves