Wiener-Wurst

Die Wiener-Wurst bezeichnet in der Mathematik einen stochastischen Prozess, der eine ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebung der brownschen Bewegung bzw. des Wienerprozesses ist.^[1]

Die Wiener-Wurst ist nach Norbert Wiener benannt.

Sei ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ ein ${\displaystyle d}$-dimensionaler Standard-Wienerprozess. Die Wiener-Wurst ist der durch den Radius ${\displaystyle \varepsilon >0}$ und die ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebung ${\displaystyle U_{\varepsilon }}$ induzierte Prozess

${\displaystyle W^{(\varepsilon )}(t)=\bigcup \limits _{s\leq t}U_{\varepsilon }(B_{s}).}$

Sei ${\displaystyle V(t,\varepsilon )}$ das Lebesgue-Maß der Wiener-Wurst, dann gilt

${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }t^{-d/(2+d)}\log \mathbb {E} \left[e^{-\nu V(t,\varepsilon )}\right]=-k(d)\nu ^{2/(2+d)},}$

wobei

${\displaystyle k(d)={\frac {d+2}{d}}\left({\frac {2\lambda _{d}}{d}}\right)^{d/(d+2)}\omega _{d}^{2/(2+d)}}$

unabhängig von ${\displaystyle \varepsilon }$ und ${\displaystyle \nu }$ ist. ${\displaystyle \lambda _{d}}$ bezeichnet den kleinsten Eigenwert des Dirichletproblems ${\displaystyle \Delta {\tfrac {1}{2}}}$ auf dem Einheitsball in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ (${\displaystyle \Delta }$ ist der Laplace-Operator) und ${\displaystyle \omega _{d}}$ ist das Volumen des ${\displaystyle d}$-dimensionalen Einheitsballes. Das Resultat wurde von Monroe D. Donsker und S. R. Srinivasa Varadhan mit Hilfe der Variationsrechnung hergeleitet.^[2]

1. ↑ Erwin Bolthausen: On the Volume of the Wiener Sausage. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 18, Nr. 4, 1989, S. 1576–1582, doi:10.1214/aop/1176990633. 
2. ↑ Monroe D. Donsker und S. R. Srinivasa Varadhan: Asymptotics for the wiener sausage. In: Communications on Pure and Applied Mathematics. Band 28, Nr. 4, 1975, S. 525–565, doi:10.1002/cpa.3160280406.