Coordenadas canónicas

En matemática y mecánica clásica, las coordenadas canónicas son conjuntos de coordenadas en el espacio de fase que se pueden usar para describir un sistema físico en cualquier momento dado. Las coordenadas canónicas se utilizan en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica. Un concepto estrechamente relacionado también aparece en la mecánica cuántica; ver el teorema de Stone-von Neumann y las relaciones de conmutación canónica para más detalles.

Como la mecánica hamiltoniana se generaliza por la geometría simpléctica y las transformaciones canónicas se generalizan por las transformaciones de contacto, la definición de coordenadas canónicas en la mecánica clásica del siglo XIX puede generalizarse a una definición más abstracta de coordenadas del siglo XX en el paquete cotangente de una variedad (la matemática noción de espacio de fases).

Definición en mecánica clásica

En mecánica clásica, las coordenadas canónicas son coordenadas. ${\displaystyle q_{i}}$ y ${\displaystyle p_{i}}$ en el espacio de fase que se utilizan en el formalismo hamiltoniano. Las coordenadas canónicas satisfacen las relaciones fundamentales del corchete de Poisson:

${\displaystyle \{q_{i},q_{j}\}=0\qquad \{p_{i},p_{j}\}=0\qquad \{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}}$

Un ejemplo típico de coordenadas canónicas es para ${\displaystyle q_{i}}$ ser las coordenadas cartesianas habituales, y ${\displaystyle p_{i}}$ ser los componentes del momento. Por lo tanto, en general, el ${\displaystyle p_{i}}$ las coordenadas se denominan "momentos conjugados".

Las coordenadas canónicas se pueden obtener a partir de las coordenadas generalizadas del formalismo lagrangiano mediante una transformación de Legendre, o de otro conjunto de coordenadas canónicas mediante una transformación canónica.

Definición en paquetes cotangentes

Las coordenadas canónicas se definen como un conjunto especial de coordenadas en el paquete cotangente de una variedad. Por lo general, se escriben como un conjunto de ${\displaystyle (q^{i},p_{j})}$ o ${\displaystyle (x^{i},p_{j})}$ con las x 's o q ' s que denotan las coordenadas en la variedad subyacente y las p 's que indican el momento conjugado, que son formas-1 en el paquete cotangente en el punto q en la variedad.

Una definición común de coordenadas canónicas es cualquier conjunto de coordenadas en el paquete cotangente que permite que el formulario canónico se escriba en el formulario

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}}$

hasta un diferencial total. Un cambio de coordenadas que conserva esta forma es una transformación canónica; se trata de un caso especial de un simplectomorfismo, que son esencialmente un cambio de coordenadas en una variedad simpléctica.

En la siguiente exposición, suponemos que las variedades son múltiples reales, de modo que los vectores cotangentes que actúan sobre vectores tangentes producen números reales.

Desarrollo formal

Dado un múltiple Q, un campo vectorial X en Q (una sección del paquete tangente TQ) puede considerarse como una función que actúa sobre el paquete cotangente, por la dualidad entre los espacios tangente y cotangente. Es decir, definir una función

${\displaystyle P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R} }$

tal que

${\displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}$

se cumple para todos los vectores cotangentes p en ${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$ . Aquí, ${\displaystyle X_{q}}$ es un vector en ${\displaystyle T_{q}Q}$, el espacio tangente al múltiple Q en el punto q . La función ${\displaystyle P_{X}}$ se llama la función de impulso correspondiente a X

En coordenadas locales, el campo vectorial X en el punto q puede escribirse como

${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

donde el ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$ son el marco de coordenadas en TQ . El momento conjugado tiene entonces la expresión

${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$

donde el ${\displaystyle p_{i}}$ se definen como las funciones de impulso correspondientes a los vectores ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$ :

${\displaystyle p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}}$

los ${\displaystyle q^{i}}$ junto con el ${\displaystyle p_{j}}$ juntos forman un sistema de coordenadas en el paquete cotangente ${\displaystyle T^{*}Q}$ ; estas coordenadas se denominan coordenadas canónicas .

Coordenadas generalizadas

En la mecánica lagrangiana, se usa un conjunto diferente de coordenadas, llamadas coordenadas generalizadas. Estos se denotan comúnmente como ${\displaystyle (q_{i},{\dot {q}}_{i})}$ con ${\displaystyle q_{i}}$ llamado la posición generalizada y ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ La velocidad generalizada. Cuando se define un Hamiltoniano en el paquete cotangente, las coordenadas generalizadas se relacionan con las coordenadas canónicas por medio de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi.

Véase también

• Análisis discriminante lineal
• Colector simpléctico
• Campo vectorial simpléctico
• Simpectomorfismo
• Impulso cinético

Referencias

• Goldstein, Herbert; Poole, Charles P., Jr.; Safko, John L. (2002). Classical Mechanics (3rd edición). San Francisco: Addison Wesley. pp. 347-349. ISBN 0-201-65702-3.  Goldstein, Herbert; Poole, Charles P., Jr.; Safko, John L. (2002). Classical Mechanics (3rd edición). San Francisco: Addison Wesley. pp. 347-349. ISBN 0-201-65702-3.  Goldstein, Herbert; Poole, Charles P., Jr.; Safko, John L. (2002). Classical Mechanics (3rd edición). San Francisco: Addison Wesley. pp. 347-349. ISBN 0-201-65702-3. 
• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden, Fundamentos de la mecánica, (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN 0-8053-0102-X Ver sección 3.2 .