Filtro de Chebyshev

Los filtros de Chebyshev son un tipo de filtro electrónico, puede ser tanto analógico como digital.

Historia

Nombrados en honor al matemático ruso Pafnuti Chebyshev, debido a que la función matemática de su respuesta en frecuencia utiliza los denominados polinomios de Chebyshev.

Descripción

Con los filtros de Chebyshev se consigue una caída de la respuesta en frecuencia más pronunciada en frecuencias bajas debido a que permiten rizado en alguna de sus bandas (paso o rechazo). A diferencia del Filtro de Butterworth donde los polos se distribuyen sobre una circunferencia, los polos del filtro Chebyshev lo hacen sobre una elipse; sus ceros se encuentran en el eje imaginario.

Se conocen dos tipos de filtros Chebyshev, dependiendo del rizado en alguna banda determinada:

Filtros de Chebyshev de tipo I

Son filtros que únicamente tienen polos, presentan un rizado constante en la banda pasante y presentan una caída monótona en la banda de rechazo.

la respuesta en frecuencia es:

| H ( Ω ) | 2 = 1 1 + ϵ 2 T N 2 ( Ω Ω c ) {\displaystyle \left|H(\Omega )\right|^{2}={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}T_{N}^{2}\left({\frac {\Omega }{\Omega _{c}}}\right)}}} para 0 < ϵ ≤ 1 {\displaystyle 0<\epsilon \leq 1}

donde N es el orden del filtro, Ω c {\displaystyle \Omega _{c}} es la frecuencia de corte, Ω {\displaystyle \Omega } es la frecuencia analógica compleja ( Ω {\displaystyle \Omega } =j w) y T N ( x ) {\displaystyle T_{N}(x)} es el polinomio de Chebyshev de orden N, que se define como: 


  
    
      
        
          T
          
            N
            +
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        2
        ⋅
        x
        ⋅
        
          T
          
            N
          
        
        (
        x
        )
        −
        
          T
          
            N
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle T_{N+1}(x)=2\cdot x\cdot T_{N}(x)-T_{N-1}(x)}
  
 con 
  
    
      
        
          T
          
            0
          
        
        (
        x
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle T_{0}(x)=1}
  
 y 
  
    
      
        
          T
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle T_{1}(x)=x}

En estos filtros la frecuencia de corte no depende de N y el módulo de su respuesta en frecuencia oscila (rizado) entre 1 y 1 1 + ϵ 2 {\displaystyle 1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}} .

Filtros de Chebyshev de tipo II

Estos filtros a diferencia de los Chebyshev I presentan ceros y polos, su rizado es constante en la banda de rechazo y además presentan una caída monotónica en la banda pasante.

Su respuesta en frecuencia es:

| H ( Ω ) | 2 = 1 1 + ϵ 2 ⋅ T N 2 ( Ω s / Ω c ) T N 2 ( Ω s / Ω ) {\displaystyle \left|H(\Omega )\right|^{2}={\frac {1}{1+\epsilon ^{2}\cdot {\frac {T_{N}^{2}\left(\Omega _{s}/\Omega _{c}\right)}{T_{N}^{2}\left(\Omega _{s}/\Omega \right)}}}}} para 0 ≤ ϵ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \epsilon \leq 1}

En un diagrama de circunferencia unidad, los polos estarían en una elipse y los ceros sobre el eje imaginario.

Otros tipos de filtros

  • Filtro de Butterworth
  • Filtro de Cauer (elíptico)
  • Filtro de Bessel

Véase también

Control de autoridades
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