Función gaussiana e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} área encerrada bajo esa curva con el eje x es ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} En matemáticas , la integral de Gauss , integral gaussiana o integral de probabilidad , es la integral impropia de la función gaussiana f ( x ) = e − x 2 {\displaystyle f(x)=e^{{-x}^{2}}}
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} Esta integral tiene amplias aplicaciones, incluyendo normalización , en teoría de la probabilidad y transformada continua de Fourier. También aparece en la definición de la función error . No existe ninguna función elemental para la función error, como se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch, por lo que la integral Gaussiana no puede ser resuelta analíticamente con las herramientas del cálculo. O sea, no existe una integral indefinida elemental para
∫ e − x 2 d x {\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx} pero sí es posible evaluar la integral definida
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} Cálculo de la Integral Coordenadas Polares La forma más común de calcular la integral de Gauss es mediante integración doble en el sistema cartesiano de coordenadas, para después hacer un cambio de coordenadas a coordenadas polares y calcular el valor. Se procede de la siguiente manera:
Se define
I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx} como la integral que queremos calcular. Podemos definir I 2 {\displaystyle {\mathcal {I}}^{2}} I {\displaystyle {\mathcal {I}}}
I 2 = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ⋅ ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y = ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) e − y 2 d y = ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x ) d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∬ R 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}^{2}&={\Biggl (}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx{\Biggr )}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\Biggl (}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx{\Biggr )}e^{-y^{2}}dy\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\Biggl (}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dx{\Biggr )}dy\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy\\&=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy.\end{aligned}}} Procedemos a realizar un cambio de variables a coordenadas a polares:
∬ R 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ r e − r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 ∞ r e − r 2 d r = 2 π ∫ 0 ∞ r e − r 2 d r = 2 π ∫ − ∞ 0 1 2 e s d s = π ∫ − ∞ 0 e s d s = π ( e 0 − e − ∞ ) = π ( 1 − 0 ) = π {\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dxdy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}drd\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}dr\\&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}dr\\&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\frac {1}{2}}e^{s}ds\\&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\&=\pi (e^{0}-e^{-\infty })\\&=\pi (1-0)\\&=\pi \end{aligned}}} donde el factor r {\displaystyle r} s {\displaystyle s} s = − r 2 {\displaystyle s=-r^{2}} d s = − 2 r d r {\displaystyle ds=-2rdr}
I 2 = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 = ∬ R 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = π {\displaystyle {\mathcal {I}}^{2}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy=\pi } por lo tanto
I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} Coordenadas Cartesianas Una técnica diferente para calcular el valor de la integral gaussiana es la siguiente.
Comencemos definiendo
I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx} por lo que
I 2 = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 {\displaystyle {\mathcal {I}}^{2}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{2}} Notemos que el integrando, es decir f ( x ) = e − x 2 {\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} función par por lo que
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx} entonces
I 2 = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d y d x {\displaystyle {\mathcal {I}}^{2}=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dydx} Sea
y = x s d y = x d s {\displaystyle {\begin{aligned}y&=xs\\dy&=xds\end{aligned}}} entonces
I 2 = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d y d x = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + x 2 s 2 ) x d s d x = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + s 2 ) x d s d x = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + s 2 ) x d x d s = 4 ∫ 0 ∞ [ − 1 2 ( 1 + s 2 ) e − x 2 ( 1 + s 2 ) | x = 0 x = ∞ ] d s = 4 [ 1 2 ∫ 0 ∞ d s 1 + s 2 ] = 2 arctan s | 0 ∞ = π {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dydx\\&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+x^{2}s^{2})}xdsdx\\&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}xdsdx\\&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}xdxds\\&=4\int _{0}^{\infty }\left[\left.{\frac {-1}{2(1+s^{2})}}e^{-x^{2}(1+s^{2})}\right|_{x=0}^{x=\infty }\right]ds\\&=4\left[{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right]\\&=2\arctan s{\bigg |}_{0}^{\infty }\\&=\pi \end{aligned}}} Por lo tanto
I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle {\mathcal {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}} Relación con la función Gamma La función gamma está dada por
Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ t α − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt} y un resultado destacado de esta función es cuando α = 1 / 2 {\displaystyle \alpha =1/2}
Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}} considerando este resultado veamos qué relación tiene con la integral gaussiana, comencemos considerando que
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx} pues f ( x ) = e − x 2 {\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} función par .
Al hacer el cambio de variable t = x 2 {\displaystyle t=x^{2}}
x = t 1 / 2 d x = 1 2 t − 1 / 2 d t {\displaystyle {\begin{aligned}x&=t^{1/2}\\dx&={\frac {1}{2}}t^{-1/2}dt\end{aligned}}} entonces
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − t ( 1 2 t − 1 / 2 ) d t = ∫ 0 ∞ e − t t − 1 / 2 d t = ∫ 0 ∞ t ( 1 − 1 2 ) − 1 e − t d t = Γ ( 1 − 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx&=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx\\&=2\int _{0}^{\infty }e^{-t}\left({\frac {1}{2}}t^{-1/2}\right)dt\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{-1/2}dt\\&=\int _{0}^{\infty }t^{\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-1}e^{-t}dt\\&=\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}\right)\\&=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\\&={\sqrt {\pi }}\end{aligned}}} Esto muestra por qué el factorial de la mitad de un entero es un número irracional múltiplo de π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}}
∫ 0 ∞ e − a x b d x = a − 1 / b Γ ( 1 − 1 b ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{b}}dx=a^{-1/b}\,\Gamma \left(1-{\frac {1}{b}}\right).} Generalizaciones Integral de una función gaussiana La integral de una función Gaussiana arbitraria es
∫ − ∞ ∞ e − a ( x + b ) 2 d x = π a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}} con a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
∫ − ∞ ∞ e − a x 2 + b x + c d x = π a e b 2 4 a + c {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c}} Esta expresión es útil para calcular momentos de algunas distribuciones de probabilidad continuas relacionadas con la distribución normal , como la distribución log-normal .
Integrales de forma similar ∫ 0 ∞ x 2 n e − x 2 a 2 d x = π a 2 n + 1 ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n + 1 ∫ 0 ∞ x 2 n + 1 e − x 2 a 2 d x = n ! 2 a 2 n + 2 ∫ 0 ∞ x 2 n e − a x 2 d x = ( 2 n − 1 ) ! ! a n 2 n + 1 π a ∫ 0 ∞ x 2 n + 1 e − a x 2 d x = n ! 2 a n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}dx={\sqrt {\pi }}\;{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}}\\&\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}dx={\frac {n!}{2}}\;a^{2n+2}\\&\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}dx={\frac {(2n-1)!!}{a^{n}2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\\&\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}\end{aligned}}} donde n {\displaystyle n} ! ! {\displaystyle !!} doble factorial .
Véase también Referencias Q1060321 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {I}}^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dydx\\&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+x^{2}s^{2})}xdsdx\\&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}xdsdx\\&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}xdxds\\&=4\int _{0}^{\infty }\left[\left.{\frac {-1}{2(1+s^{2})}}e^{-x^{2}(1+s^{2})}\right|_{x=0}^{x=\infty }\right]ds\\&=4\left[{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right]\\&=2\arctan s{\bigg |}_{0}^{\infty }\\&=\pi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b33af09aa7e7f6c7f8dc8584d9cca98cc7cb18)
Datos: Q1060321
