Potencial de Riesz

En matemáticas, el potencial de Riesz es una potencial que debe su nombre a su descubridor, el matemático húngaro Marcel Riesz. En cierto sentido, el potencial de Riesz define una inversa para una potencia del operador de Laplace en el espacio euclídeo. Generalizan a varias variables las integrales de Riemann-Liouvilles de una variable.

Definición

Si 0 < α < n, entonces el potencial de Riesz Iαf de una función localmente integrable f en Rn es la función definida por


( I α f ) ( x ) = 1 c α ∫ R n f ( y ) | x − y | n − α d y {\displaystyle (I_{\alpha }f)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\,\mathrm {d} y}

 

 

 

 

(1)

donde la constante viene dada por[1]​

c α = π n / 2 2 α Γ ( α / 2 ) Γ ( ( n − α ) / 2 ) . {\displaystyle c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.}

Referencias

  1. ↑ Samko, 1998, section II.

Bibliografía

  • Landkof, N. S. (1972), Foundations of modern potential theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0350027 .
  • Riesz, Marcel (1949), «L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy», Acta Mathematica 81: 1-223, ISSN 0001-5962, MR 0030102, doi:10.1007/BF02395016 ..
  • Solomentsev, E.D. (2001), «Potencial de Riesz», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .
  • Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean (2014), An L 1 {\displaystyle L^{1}} -type estimate for Riesz potentials, S2CID 55497245, arXiv:1411.2318, doi:10.4171/rmi/937 .
  • Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-08079-8, (requiere registro) .
  • Samko, Stefan G. (1998), «A new approach to the inversion of the Riesz potential operator», Fractional Calculus and Applied Analysis 1 (3): 225-245, archivado desde el original el 22 de febrero de 2016, consultado el 27 de enero de 2023 .