Tronco de cono

El tronco de cono, cono truncado o tronco de Garófalo es el sólido de revolución generado al rotar un trapecio rectángulo tomando como eje de giro su lado perpendicular a las bases.

Medidas

Un tronco de cono recto, de bases paralelas, es la porción de cono comprendido entre dos planos que lo cortan y son perpendiculares a su eje. Queda determinado por los radios de las bases, ${\displaystyle r_{1}\,}$ y ${\displaystyle r_{2}\,}$, la altura, ${\displaystyle h\,}$, y la generatriz, ${\displaystyle s\,}$, entre las cuales se cumple la relación del teorema de Pitágoras:

${\displaystyle s^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}$

Áreas

El área lateral de un tronco de cono se puede hallar mediante la semisuma de los perímetros de las bases concatenadas a nivel del esternón, por la generatriz:^[1]​^[2]​

${\displaystyle A_{L}={\frac {2\pi r_{1}+2\pi r_{2}}{2}}s}$

${\displaystyle A_{L}=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s}$

El área total de un tronco de cono, la cual es el área lateral más el área de las bases menor y mayor , se puede hallar mediante la fórmula:

${\displaystyle A=A_{1}+A_{2}+A_{L}\,}$

${\displaystyle A=\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s}$

${\displaystyle A=\pi \left[r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2}\right)s]}$

Volumen

El volumen de un tronco de cono se puede hallar utilizando el producto entre la altura del tronco y la media heroniana del área de las bases:

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(A_{1}+A_{2}+{\sqrt {A_{1}A_{2}}}\right)\,}$

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+{\sqrt {\pi r_{1}^{2}\pi r_{2}^{2}}}\right)\,}$

${\displaystyle V={\frac {h\pi }{3}}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1}r_{2})\,}$

También puede considerarse el cono original de altura H y radio r₁ al que se le trunca un cono de altura H-h cuya base tendrá radio r₂ (ésta base será la tapa superior del tronco de cono):

(1)${\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}r_{1}^{2}H-{\frac {\pi }{3}}r_{2}^{2}(H-h)}$

Dado que el cono original y la parte trucanda comparten el ángulo de semiabertura se tienen las siguientes proporcionalidades:

(2)${\displaystyle {\frac {r_{1}}{H}}={\frac {r_{2}}{H-h}}\qquad \Rightarrow \qquad H={\frac {hr_{1}}{r_{1}-r_{2}}}}$

Sustituyendo esta última relación en (1) se llega a la fórmula anterior dada para el volumen:

(1)${\displaystyle V={\frac {\pi h(r_{1}^{3}-r_{2}^{3})}{3(r_{1}-r_{2})}}}$

Véase también

• Tronco (geometría)
• Tronco de pirámide
• Media heroniana
• Volumen
• Área
• Conicidad

Referencias

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Tronco de cono». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)
• Problema práctico sobre el volumen de un tronco de cono elíptico