Aplikazio lineal

Matematiketan aplikazio lineala bi bektore-espazioren arteko aplikazio bat da, zeinak bektoreen arteko batuketa eta bektore eta eskalar baten arteko biderketa operazioak mantentzen baititu.

Aljebra abstraktuan eta aljebra linealean aplikazio lineal bat homomorfismoa da bektore-espazioen artean, edo kategorietako teoriako terminoetan, morfismo bat bektore-espazioen kategorian emandako gorputz baten gainetik.

Definizioa

Aplikazio lineal,  funtzio lineal edo transformazio lineal esaten zaio dominio eta kodominio moduan bektore-espazioak dituen eta hurrengo baldintza betetzen duen edozein ${\displaystyle T}$ aplikaziori:

Bitez ${\displaystyle K}$ gorputzaren gainean eraikitako ${\displaystyle V}$eta ${\displaystyle W}$ bektore-espazioak. ${\displaystyle T:V\to W}$ aplikazio lineala izanen da baldin eta edozein bi bektorendako ${\displaystyle \forall u,v\in V}$ eta edozein eskalarrendako ${\displaystyle \forall k\in K}$ ondokoa betetzen bada:

1. ${\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)\,}$
2. ${\displaystyle T(ku)=kT(u)\,}$.

Bi berdintza hauek betetzeari "gainjartze printzipioa" deritzo eta hurrengo berdintzaren bidez adieraz daiteke:

• ${\displaystyle T(ku+k'v)=kT(u)+k'T(v)}$.

Adibideak

1. Identitate aplikazioa aplikazio lineala da edozein bektore-espazioren gainean:
   $${\displaystyle {\begin{array}{cccl}T:&V&\to &V\\&x&\mapsto &T(x)=x\end{array}}}$$

   
2. Homoteziak ${\displaystyle n}$-dimentsioko ${\displaystyle \mathbb {K} }$ gorputzean ere aplikazio linealak dira, non ${\displaystyle k\in \mathbb {K} }$ handitze (${\displaystyle k>1}$) edo txikitze (${\displaystyle k<1}$) konstantea baita:
   $${\displaystyle {\begin{array}{cccl}T:&\mathbb {K} ^{n}&\to &\mathbb {K} ^{n}\\&x&\mapsto &T(x)=kx\end{array}}}$$

   
   Demostrazioa: bitez ${\displaystyle x,y\in \mathbb {K} ^{n},a,b\in \mathbb {K} }$. Orduan ${\displaystyle T(ax+by)=k(ax+by)=kax+kby=a(kx)+b(ky)=aT(x)+bT(y)}$.

Irudia eta nukleoa

Irudia

Izan bitez ${\displaystyle \mathbb {K} }$ gorputzaren gaineko ${\displaystyle V,W}$ espazio bektorialak. ${\displaystyle T:V\to W}$ aplikazio lineala definituz, orduan, ${\displaystyle T(f)}$ multzoari aplikazioaren irudia deritzo definizioz, eta ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ ere adierazten da. Multzo hau ${\displaystyle W}$-ren azpimultzoa da, are gehiago, ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle W}$-ren azpiespazio bektoriala izango da.

Aplikazio lineal bat supraiektiboa izango da baldin eta soilik baldin, ${\displaystyle \operatorname {Im} T=W}$ bada.

Nukleoa

${\displaystyle T:V\to W}$ hartuz, bere nukleoa (${\displaystyle \operatorname {Ker} T}$ adierazia) honako hau izango da:

${\displaystyle \operatorname {Ker} T=\{v\in V:T(v)=0_{W}\}=T^{-1}(\{0_{W}\})}$

Hau da, aplikazio lineal baten nukleoa eremuren azpimultzo bat da, zeinaren elementuen irudia koeremuko 0-a den. Gainera, ${\displaystyle \operatorname {Ker} T}$ ${\displaystyle V}$-ren azpiespazio bektoriala da ere.

Bestalde, aplikazio lineal bat injektiboa izango da baldin eta soilik baldin ${\displaystyle \operatorname {Ker} T=\{0_{V}\}}$ bada.

Aplikazio linealen oinarrizko teorema

Izan bedi ${\displaystyle T:V\to W}$ aplikazio lineala. Orduan, ${\displaystyle \operatorname {dim} V=\operatorname {dim} \operatorname {Im} T+\operatorname {dim} \operatorname {Ker} T}$ berdintza betetzen da.

Aplikazio linealen eraikuntza

${\displaystyle f_{1}:V\rightarrow W}$ eta ${\displaystyle f_{2}:V\rightarrow W}$ linealak badira, ${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$ ere lineala izango da (${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)}$).

${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ lineala bada eta a K gorputzeko elementu bat bada, orduan, ${\displaystyle (af)(x)=a(f(x))}$ ere lineala izango da.

Bi propietate horiei esker, eta dena elementu nulura bidaltzen duen funtzioa aplikazio lineala denez, ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ transformazio linealen multzoak V-ren funtzioen azpiespazio bat eratzen du W-n. Azpieremu horri L(V,W) esaten zaio.

${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ eta ${\displaystyle g:W\rightarrow Z}$ linealak badira, orduan haien konposizio g∘f: V → Z ere lineala izango da.

V espazio bektoriala emanda, L(V,V) espazio bektorialak, eskuarki End(V) gisa hautematen denak, aljebra asoziatibo bat eratzen du oinarrizko gorputzaren gainean, non biderketa konposizioa baita eta unitatea identitatearen eraldaketa baita.

${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ transformazio lineal bijektiboa bada, alderantzizkoa ere lineala izango da.

Transformazio linealen sailkapena

• Funtzional lineala: ${\displaystyle T:V\rightarrow \mathbb {K} }$ transformazio linealei (non ${\displaystyle \mathbb {K} }$ den V-ren oinarrizko gorputza) funtzional linealak deritze.
• Monomorfismoa: ${\displaystyle T:V\rightarrow W}$ injektiboa da, nukleoko elementu bakarra bektore nulua bada. ${\displaystyle \operatorname {ker} (T)={0_{V}}}$
• Epimorfismoa: Baldin eta ${\displaystyle T:V\rightarrow W}$ supraiektiboa bada.
• Isomorfismoa: Baldin eta ${\displaystyle T:V\rightarrow W}$ bijektiboa bada (injektiboa eta supraiektiboa).
• Endomorfismoa: Transformazio lineal bat esaten zaio, non eremua eta koeremua bat baitatoz.
• Automorfismoa: Endomorfismo bijektiboari deitzen zaio.

Aplikazio linealari dagokion matrizea

Izan bitez V eta W bi bektore-espazio dim V=n eta dim W=m izanik eta ${\displaystyle \beta =\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}}$ eta ${\displaystyle \beta '=\{w_{1},w_{2},...,w_{m}\}}$ V eta W-ren oinarriak. Hartu ${\displaystyle f\in }$ L(V,W). f aplikazio linealari elkartutako matrizea ${\displaystyle \beta }$ eta ${\displaystyle \beta '}$ oinarriekiko, i. zutabean ${\displaystyle f(v_{i})}$ bektorearen ${\displaystyle \beta '}$ oinarriarekiko koordenatuak dituen matrizea da.

${\displaystyle M_{\beta ,\beta '}(f)={\begin{pmatrix}|&|&...&|\\|&|&...&|\\f(v_{1})-en&f(v_{2})-ren&...&f(v_{n})-ren\\koordenatuak&koordenatuak&...&koordenatuak\\\{w_{1},w_{2},...w_{m}\}-rekiko&\{w_{1},w_{2},...w_{m}\}-rekiko&...&\{w_{1},w_{2},...w_{m}\}-rekiko\end{pmatrix}}}$

hau da, ${\displaystyle i\in \{1,...,n\}}$ guztietarako, ${\displaystyle f(v_{i})=\textstyle \sum _{k=1}^{m}\displaystyle a_{ki}w_{k}}$ da.

Kanpo estekak

• Datuak: Q207643
• Multimedia: Linear operators / Q207643