Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö

Matematiikassa Cauchyn epäyhtälö, Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö, Schwarzin epäyhtälö tai Cauchyn-Bunjakovskin-Schwarzin epäyhtälö on kuuluisa ja monissa tilanteissa hyödyllinen epäyhtälö, jonka nimen taustalla ovat Augustin Louis Cauchy, Viktor Jakovlevitš Bunjakovski ja Hermann Amandus Schwarz. Epäyhtälö on käytössä lineaarialgebrassa vektoriavaruuksien yhteydessä, analyysissä sarjateoriassa ja sarjojen integroinnissa ja todennäköisyyslaskennassa varianssien ja kovarianssien yhteydessä.

Epäyhtälön mukaan reaali- tai kompleksivektoreiden x ja y sisätulolle on voimassa

| ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ . {\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .}

Epäyhtälössä on voimassa yhtäsuuruus jos ja vain jos x ja y ovat lineaarisesti riippuvia tai, jos x ja y tulkitaan vektoreiksi, yhdensuuntaisia.

Tärkeä seuraus Cauchyn epäyhtälöstä on se, että sisätulo on jatkuva funktio.

Toinen muoto Cauchyn epäyhtälölle saadaan sisätulon indusoiman eukleidisen normin avulla lausuttuna:

| ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ⋅ ‖ y ‖ . {\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,}

Tilastotieteessä seuraavaa epäyhtälöä kutsutaan Cauchyn–Schwarzin epäyhtälöksi[1]: Satunnaismuuttujille X {\displaystyle X} ja Y {\displaystyle Y} on voimassa

∣ E X Y ∣≤ E ∣ X Y ∣≤ ( E ∣ X ∣ 2 ) 1 / 2 ( E ∣ Y ∣ 2 ) 1 / 2 {\displaystyle \mid EXY\mid \leq E\mid XY\mid \leq \left(E\mid X\mid ^{2}\right)^{1/2}\left(E\mid Y\mid ^{2}\right)^{1/2}}

Cauchyn epäyhtälön todisti Cauchy vuonna 1821 äärellisessä tapauksessa. Yleisen tapauksen todisti Bunjakovski vuonna 1859.

Todistus

Epäyhtälö on selvästi tosi tapauksessa y = 0, joten voidaan olettaa, että <y, y> on nollasta poikkeava. Olkoon λ {\displaystyle \lambda } kompleksiluku. Tällöin

0 ≤ ‖ x − λ y ‖ 2 = ⟨ x − λ y , x − λ y ⟩ {\displaystyle 0\leq \left\|x-\lambda y\right\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle }
= ⟨ x , x ⟩ − λ ¯ ⟨ x , y ⟩ − λ ⟨ y , x ⟩ + | λ | 2 ⟨ y , y ⟩ . {\displaystyle =\langle x,x\rangle -{\overline {\lambda }}\langle x,y\rangle -\lambda \langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .}

Valitsemalla

λ = ⟨ x , y ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ − 1 {\displaystyle \lambda =\langle x,y\rangle \cdot \langle y,y\rangle ^{-1}}

saadaan

0 ≤ ⟨ x , x ⟩ − | ⟨ x , y ⟩ | 2 ⋅ ⟨ y , y ⟩ − 1 , {\displaystyle 0\leq \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\cdot \langle y,y\rangle ^{-1},}

mikä on voimassa jos ja vain jos

| ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }

eli yhtäpitävästi:

| ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ . {\displaystyle {\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|.}

Q.E.D.

Merkittäviä erikoistapauksia

  • Euklidisessa avaruudessa Rn, saadaan
( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) . {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).} Erityisesti kun n=2 tai 3, jos pistetulo määritellään kahden vektorin väliseksi kulmaksi, saadaan välittömästi epäyhtälö: | x ⋅ y | = | x | | y | | cos ⁡ θ | ≤ | x | | y | {\displaystyle |\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} ||\cos \theta |\leq |\mathbf {x} ||\mathbf {y} |} . Tämä voidaan johtaa myös Lagrangen identiteetistä jättämällä pois joitakin termejä.
  • Neliöllisesti integroituvien kompleksisten funktioiden sisätuloavaruudessa on voimassa
| ∫ f ∗ ( x ) g ( x ) d x | 2 ≤ ∫ | f ( x ) | 2 d x ⋅ ∫ | g ( x ) | 2 d x . {\displaystyle \left|\int f^{*}(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx.}

Näiden epäyhtälöiden yleistys on nimeltään Hölderin epäyhtälö.

  • Tapauksessa n=3 epäyhtälöstä on olemassa vahvempi yhtälö:
⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ = | ⟨ x , y ⟩ | 2 + | x × y | 2 . {\displaystyle \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}.}

Käyttö

Sisätuloavaruuksien kolmioepäyhtälö todistetaan usein Cauchyn epäyhtälön avulla seuraavasti: Olkoon x ja y annetun sisätuloavaruuden kaksi vektoria. Tällöin

‖ x + y ‖ 2 {\displaystyle \|x+y\|^{2}} = ⟨ x + y , x + y ⟩ {\displaystyle =\langle x+y,x+y\rangle }
= ‖ x ‖ 2 + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , x ⟩ + ‖ y ‖ 2 {\displaystyle =\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}}
≤ ‖ x ‖ 2 + 2 | ⟨ x , y ⟩ | + ‖ y ‖ 2 {\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}}
≤ ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ x ‖ ‖ y ‖ + ‖ y ‖ 2 {\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}}
= ( ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ) 2 {\displaystyle =\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}}

Ottamalla puolittain neliöjuuri saadaan kolmioepäyhtälö.

Cauchyn epäyhtälöä käytetään todistamaan Besselin epäyhtälö.

Lähteet

  1. ↑ Casella, Berger:Statistical Inference Second Edition, Duxbury advancd series

Kirjallisuutta

  • Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.