Hallin ilmiö

Hallin ilmiössä magneettikentässä olevaan johdinkappaleeseen syntyy jännite (Hall-jännite), joka on poikittaissuuntainen kappaleessa kulkevaan sähkövirtaan ja magneettikenttään nähden. Ilmiön huomasi Edwin Hall vuonna 1879 työskennellessään ohuen kultakalvon kanssa.^[1] Myöhemmin ilmiön on todettu esiintyvän myös puolijohteilla.

Voimaa, joka saa aikaan Hallin ilmiön, kutsutaan Lorentzin voimaksi. Voima vaikuttaa elektroniin, joka kulkee magneettikentässä ${\displaystyle \mathbf {B} }$, seuraavan kaavan mukaan

${\displaystyle \mathbf {F} =-q(\mathbf {v} \times \mathbf {B} ),}$

missä ${\displaystyle \mathbf {F} }$ on Lorentzin voima (magneettinen voima), ${\displaystyle q}$ alkeisvaraus ja ${\displaystyle \mathbf {v} }$ elektronin nopeus.

Metallit

Otetaan tarkasteltavaksi suorakulmion muotoinen metallinen johde, jonka pituus on ${\displaystyle l\,\!}$, leveys ${\displaystyle w\,\!}$ ja paksuus ${\displaystyle t\,\!}$. Valitaan sähkövirran kulkusuunnaksi x-akselin positiivinen suunta ja asetetaan magneettikenttä z-akselin suuntaiseksi. Elektronien ajautuessa magneettisen voiman vaikutuksesta johteen laitaan, syntyy johteen reunojen välille sähkökenttä, joka on vastakkaissuuntainen magneettiselle voimalle. Syntynyt sähkökenttä kumoaa magneettisen voiman vaikutuksen, ja tämän seurauksena elektronit kulkevat jälleen suoraan johteessa. Aika, joka tarvitaan tasapainon saavuttamiseksi on luokkaa 0,01 ps.^[2] magneettisen voiman kumoavaa sähkökenttää kutsutaan Hall-kentäksi.

${\displaystyle E_{H}=+v_{x}B_{z}\,\!}$

Käyttämällä sähkövirran tiheyden määritelmää sekä tietoa, että jännite on Ed, missä d on potentiaalipisteiden välinen etäisyys, saadaan kaava Hall-jännitteelle

${\displaystyle V_{H}={\frac {-I_{x}B_{z}}{nqt}},}$

missä ${\displaystyle I_{x}}$ on johteessa kulkeva virta ja n elektronien tiheys.

Hall-jännite esitetään yleensä muodossa

${\displaystyle V_{H}={\frac {R_{H}I_{x}B_{z}}{t}},\,\!}$

missä ${\displaystyle R_{H}}$ on Hall-kerroin.

${\displaystyle R_{H}=-1/nq\,\!}$

Hall-kerroin on kääntäen verrannollinen varauksenkuljettajien tiheyteen. Metalleissa on paljon varauksenkuljettajia, ja Hall-kertoimet näin ollen pieniä. Kullalla ja kuparilla ${\displaystyle R_{H}}$ on suuruusluokkaa ${\displaystyle -0{,}5\cdot 10^{-10}{\rm {m^{3}/As}}}$.^[2]

Puolijohteet

Puolijohteissa sähkövirran kuljetukseen osallistuvat elektronien lisäksi myös aukot, joten molemmat varauksenkuljettajat on otettava huomioon laskettaessa Hall-jännitettä. Otetaan tarkasteltavaksi samanlainen suorakaiteen muotoinen puolijohdepala, kuin tarkasteltaessa ilmiötä metalleilla. Valitaan myös koordinaatisto samalla tavalla. Lähtemällä liikkeelle Lorentzin voiman kumoavasta jännitteestä ja laskemalla elektronien sekä aukkojen virta x-akselin suuntaan tasapainotilassa, saadaan johdettua kaava Hall-kertoimelle.

${\displaystyle R_{H}={\frac {p\mu _{p}^{2}-n\mu _{n}^{2}}{q(p\mu _{p}+n\mu _{n})^{2}}}}$

Kaavassa ${\displaystyle p\,\!}$ on aukkojen tiheys, ${\displaystyle \mu _{p}\,\!}$ aukkojen liikkuvuus, ${\displaystyle n\,\!}$ elektronien tiheys ja ${\displaystyle \mu _{n}\,\!}$ elektronien liikkuvuus.

N-tyypin puolijohteille, joilla ${\displaystyle n\gg p}$, Hall-kerroin supistuu muotoon, joka on sama kuin metalleilla. Enemmistövarauksen kuljettajina toimivat elektronit, joten Hall-kerroin on negatiivinen.

${\displaystyle R_{H}({\rm {elektronit}})=-1/nq\,\!}$

P-tyypin puolijohteilla taas aukkojen tiheys on paljon suurempi kuin elektronien tiheys (${\displaystyle p\gg n}$), ja Hall-kerroin on

${\displaystyle R_{H}({\rm {aukot}})=1/pq.\,\!}$

Katso myös

• Kvantittunut Hallin ilmiö

Lähteet

1. S. Middlehoek, S.A. Audet: Silicon Sensors. TUDelft, 1994.

Viitteet

Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Hallin ilmiö.

• Science World artikkeli