Matemaattinen merkintä

Tämän artikkelin tai sen osan muoto tai tyyli kaipaa korjausta. Voit auttaa Wikipediaa parantamalla artikkelia. Lisää tietoa saattaa olla keskustelusivulla.

Katso myös: Luettelo matemaattisista merkeistä, Kreikkalainen kirjaimisto

Matemaattinen merkintä eli matemaattinen notaatio on tapa ilmaista matemaattisia objekteja ja käsitteitä symboleilla.^[1] Sitä käytetään ainakin matematiikassa, luonnontieteissä ja kirjanpidossa.

Määritelmä

Matemaattinen merkintä on kirjoitusjärjestelmä (oikeastaan formaali kieli), jota käytetään tallentamaan matemaattisia käsitteitä. Merkintä käyttää symboleita tai symbolien yhdistelmiä, joille on niitä kehitettäessä pyritty asettamaan mahdollisimman täsmällinen ja käytännöllinen merkitys.

Matemaattisen merkinnän historia

Uskotaan, että jonkinlainen matemaattinen merkintä kehittyi ensimmäisen kerran vähintään 50 tuhatta vuotta sitten esineiden laskemisen auttamiseen. Todennäköisesti vanhimmat laskemiseen liittyvät säilyneet tekstit ovat peräisin sumereilta.

Geometriaan liittyvä merkistö kehittyi yhtenäiseksi vasta 1600-luvulla analyyttisen geometrian myötä.

Lopullisesti matemaattinen merkintä asettui nykyiseen standardoituun muotoonsa vasta 1700- ja 1800-luvulla.

Matemaattiset merkit

Reaali- ja kompleksiluvut

Symboli	Vaihtoehto	Tarkoittaa	Esimerkki
=		Yhtä suuri. Yhdistää kaksi lauseketta samanarvoisiksi.	2+5+9 = 16
≠		Erisuuri. Ilmoittaa, että merkki tai numero on erisuuri kuin toinen.	X ≠ 6 tai 5 ≠ 6
< ja >		Pienempi kuin ja suurempi kuin. Terävän pään osoittama luku on pienempi.	3<7 ja 7>3 tai X>3 ja 3<X

Aritmetiikka

Peruslaskutoimitukset

Symboli	Luetaan	Tarkoittaa	Esimerkki
+	"2+2" Kaksi plus kaksi	Yhteenlasku – Muodostaa kahden luvun summan.	2+5+9=16
-	"2−2" Kaksi miinus kaksi	Vähennyslasku – Muodostaa kahden luvun erotuksen.	2-2=0
*	"3*4" Kolme kertaa neljä	Kertolasku – muodostaa kahden luvun tulon. Lyhenne toistuvalle yhteenlaskulle.	3*4=3+3+3+3=4+4+4=12
/	"2/5" Kaksi jaettuna viidellä	Jakolasku – muodostaa kahden luvun osamäärän. Nollalla ei voi jakaa. Jakolaskulle on paljon vaihtoehtoisia merkintöjä.	2/5=0,4

Potenssit ja juuret

Symboli	Tarkoittaa	Luetaan
${\displaystyle x^{y}}$	Potenssilasku - Suurempaa merkkiä kutsutaan kantaluvuksi ja sen yläindeksiä eksponentiksi. Merkintä tarkoittaa, että kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti määrää.	x y:änteen tai x potenssiin y
${\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}}$	Juuri - Esimerkiksi merkintä ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{4}}}$ tarkoittaa lukua X, joka korotettuna toiseen potenssiin on neljä. Yleensä tämä tosin merkitään ${\displaystyle {\sqrt[{}]{4}}}$, eli numeroa kaksi ei merkitä (kaikki muut luvut merkitään).	x:s juuri y:stä

Muut

Symboli	Selitys
−	Negatiivinen etumerkki
...${\displaystyle |}$...	Jaollisuuden merkintä - Merkintä tarkoittaa, että oikealla puolen pystyviivaa oleva luku on jaollinen vasemmalla puolella olevalla,
${\displaystyle \sum }$	Summan merkintä (iso kreikkalainen sigma-kirjain) - Esimerkiksi ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}.}$ Käytännössä lasketaan kaikki X:t ${\displaystyle x_{m}}$:n ja ${\displaystyle x_{n}}$:n väliltä. Pientä i-kirjainta kutsutaan summausindeksiksi.
${\displaystyle \prod }$	Tulon merkintä (iso kreikkalainen pii-kirjain) - Esimerkiksi ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}a_{2}...a_{n}}$. Käytännössä kerrotaan keskenään kaikki a:t välillä ${\displaystyle a_{1}-a_{n}}$

Geometria

Symboli	Tarkoittaa
...${\displaystyle ||}$...	Suorat ... ja ... ovat samansuuntaiset
...°	"°"-merkki ilmoittaa kulman suuruutta, astemäärää.
π	"π" - Pii. Pii on luku, joka on yhtä suuri kuin ympyrän halkaisijan suhde kehään euklidisessa geometriassa. π≈3,14
${\displaystyle \angle }$	Kulman merkki. Esimerkiksi kulma, jonka oikea sivu A ja vasen sivu B leikkaavat pisteessä C, on nimeltään ${\displaystyle \angle }$ ACB.
${\displaystyle \perp }$	Suoran kulman merkki.

Joukko-oppi

Symboli	Miten luetaan	Määritelmä
{a, b, c}	Joukko (, jonka alkiot ovat) a, b, c
${\displaystyle {|}}$		Alkioiden tulee täyttää molemmat pystyviivan eri puolilla olevat ehdot.
... = ...	... on sama kuin ...	Osoittaa, että merkin eri puolilla olevat joukot sisältävät samat alkiot.
... ≠ ...	... on eri kuin ...	Osoittaa, että merkin eri puolilla olevat joukot eivät ole samat.
${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \not \in }$	${\displaystyle a\in A}$ "alkio a kuuluu joukkoon A" ${\displaystyle a\not \in A}$ "alkio a ei kuulu joukkoon A"
${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subseteq }$	${\displaystyle B\subset A}$ "joukko B on joukon A osajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio". Joskus merkitään ${\displaystyle B\subseteq A}$. ${\displaystyle B\subset A}$ "joukko B on joukon A (aito) osajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio (mutta B ≠ A)".	${\displaystyle B\subset A}$, kun kaikilla ${\displaystyle b\in B}$ pätee ${\displaystyle b\in A}$, ts. ${\displaystyle \forall b\in B:b\in B\Rightarrow b\in A}$
${\displaystyle \wedge }$	Looginen ja
${\displaystyle \vee }$	Looginen tai
${\displaystyle \cup }$	${\displaystyle A\cup B}$ "A unioni B", "Joukkojen A ja B yhdiste"	${\displaystyle A\cup B}$ =${\displaystyle \{x\in E|x\in A\vee x\in B\}}$ = {Joukkojen A ja B kaikkien alkioiden joukko} (Tässä E on niin sanottu perusjoukko.)
${\displaystyle \cap }$	${\displaystyle A\cap B}$ "A leikkaus B"	${\displaystyle A\cap B}$ =${\displaystyle \{x\in E|x\in A\ \wedge x\in B\}}$ = {Joukkojen A ja B yhteiset alkiot}
\	A \ B "A miinus B". Merkitään joskus myös merkillä "-".	A \ B =${\displaystyle \{x\in E|x\in A\wedge x\not \in B\}}$ = {Kaikki ne alkiot, jotka kuuluvat joukkoon A mutta eivät kuulu joukkoon B (ks. joukkoerotus)}
${\displaystyle \Delta }$		${\displaystyle A\Delta B=(A-B)\cup (B-A)}$= {Kaikkien niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joko joukkoon A tai joukkoon B, mutta eivät kuulu molempiin.}
Ac	Ac "A:n komplementti"	Ac =${\displaystyle \{x\in E|x\not \in A\}}$ = {Kaikki ne alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A}
${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$	${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ "A:n potenssijoukko"	${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ = {Kaikki A:n osajoukot}
${\displaystyle {\mbox{card}}(X)}$	X:n kardinaali	X:n sisältämien alkioiden lukumäärä

Lukujoukot

Symboli	Tarkoittaa	Esimerkiksi
${\displaystyle \mathbb {N} }$	Luonnollisten lukujen joukko	0, 1, 2, 3, 4, 5 ...
${\displaystyle \mathbb {Z} }$	Kokonaislukujen joukko	... -2, -1, 0, 1, 2 ...
${\displaystyle \mathbb {Q} }$	Rationaalilukujen joukko. Reaaliluvut, jotka voidaan ilmoittaa murtolaskuna	${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$
${\displaystyle \mathbb {R} }$	Reaalilukujen joukko, kaikki luvut	π, e ja 100
${\displaystyle \mathbb {C} }$	Kompleksilukujen joukko, reaalilukujen laajennus	${\displaystyle x+yi\,}$

<<

Merkintää "<<" tai ">>" käytetään merkitsemään lauseke paljon suuremmaksi kuin toinen lauseke. Tämä on epämääräinen määritelmä, ja yleensä käytetäänkin merkkejä "<" ja ">", ellei ole välttämätöntä korostaa, että lauseke on "paljon" suurempi kuin toinen. Merkinnän terävä pää osoittaa aina pienempää ja avonainen suurempaa suuretta päin. Esimerkiksi 0,1<<1000.

${\displaystyle \ll }$

Merkintää ${\displaystyle \ll }$ käytetään reaalianalyysissä merkitsemään mittojen absoluuttista jatkuvuutta.

≤ tai ≥

Pienempi/suurempi tai yhtä suuri kuin -merkki on reaalilukujen kaksipaikkainen relaatio, jota käytetään reaalilukujen vertailuun. Se on muuten kuin suurempi kuin -relaatio, mutta se on myös järjestysrelaatio.

Esimerkki käytöstä: ${\displaystyle 2\geq 1}$, koska ${\displaystyle 2-1\in \mathbb {N} _{0}}$ (N_0).

Formaali määritelmä:

Olkoon ${\displaystyle \geq }$ relaatio joukossa ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$, toisin sanoen ${\displaystyle \geq \subset \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}}$.

Määritellään relaatio seuraavasti.

${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$: ${\displaystyle (\left(m,n)\in \,\geq \right)}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle (\left(m-n)\in \mathbb {N} _{0}\right)}$.

Siis sanallisesti: Luku m on suurempi tai yhtä suuri kuin n, jos ja vain jos erotus m - n kuuluu positiivisten kokonaislukujen joukkoon.

Määritelmä voidaan siirtää suoraan reaaliluvuille, mutta ei esimerkiksi kompleksiluvuille.

+

Yhteenlaskumerkki (sekä erillinen unioni (engl. disjoint union) (?) -merkki)

−

Vähennyslaskumerkki, negatiivinen etumerkki, joukkoerotusmerkki

×

Kertomerkki sekä karteesinen tulo -merkki; (engl. cross product)

·

Kertomerkki (pistetulon)

÷ tai /

Jakomerkki sekä murtomerkki

±

Plus-miinusmerkki

√

Neliöjuurimerkki sekä kompleksineliöjuurimerkki

|x|

Itseisarvon merkintä sekä Euklidisen etäisyyden merkintä

a|b

Jaollisuuden merkintä

a!

Kertoman merkintä

T

Transpoosin merkintä.

Lineaarialgebrassa matriisin transpoosi on matriisi, joka saadaan kun alkuperäisen matriisin rivit muutetaan sarakkeiksi ja päinvastoin.

Esimerkiksi:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}\quad \quad {\mbox{ja}}\quad \quad {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}$

~

Todennäköisyyden jakauman merkintä

¬

Negaatio. Etenkin logiikassa käytetty symboli, joka kuvaa, että jonkin tapahtuma ei tapahdu. Esim. Jos A : "Sataa", niin ¬A : "Ei sada".

≡

Kongruenssin merkintä. Kun a ≡ b (mod n), niin luku a on kongruentti luvun b kanssa modulo n. Luvut a ja b ovat kongruentit modulo n, jos ja vain jos lukujen a ja b erotus, a - b, on jaollinen luvulla n. Esim. 16 ≡ 1 (mod 5), sillä 16 - 1 = 15 ja 15 ÷ 5 = 3.

{a,b}

Joukon sisältämien alkioiden merkintä

{|}

Alkioehto (?) (engl. set-builder notation)

{}

Tyhjän joukon merkintä

U

Unionin merkintä

∩

Leikkauksen merkintä

Δ

Kreikkalainen aakkonen: delta. Luonnontieteissä deltalla kuvataan yleensä jonkin suureen muutosta. Esimerkiksi Δt kuvaa ajan muutosta.

- tai \

Joukkoerotuksen merkintä

( )

Sulkumerkit

f(X→Y)

Funktionuoli (?) (engl. function arrow)

f on kuvaus joukosta X joukkoon Y.

o

Yhdistetyn funktion merkintä

N

Luonnollisten lukujen merkintä

Z

Kokonaislukujen merkintä

Q

Rationaalilukujen merkintä

R

Reaalilukujen merkintä

C

Kompleksilukujen merkintä

K

Reaali- tai kompleksiluvun merkintä

∞

Äärettömyyden merkintä

||…||

(engl. norm) (Pituus origosta)

∑

Lukujonon summan merkintä tai yleisesti vain summan merkintä.

∏

Lukujonon karteesisen tulon merkintä

′ (derivaatta)

Derivaatan merkintä

∫ (integraalifunktio)

Integraalifunktion merkintä

∂

Osittaisderivaatan merkintä (sekä engl. boundary (topologia))

||

Yhdensuuntaisuuden merkintä

/

(engl. quotient group); (engl. quotient set)

≈

Likiarvon merkintä sekä isomorfismin merkintä

~

Saman suuruusluokan merkintä sekä karkean likiarvon merkintä

Katso myös

• Luettelo matemaattisista merkeistä
• Kreikkalainen kirjaimisto

Lähteet

Aiheesta muualla

• Englanti-suomi sanakirja matematiikan käsitteille (Arkistoitu – Internet Archive)
• Matematiikan ja fysiikan merkinnät Nykyajan kielenopas.
• Matemaattisen tekstin kirjoittaminen Matematiikan laitos, Tampereen teknillinen yliopisto. Arkistoitu 20.5.2006. Viitattu 6.2.2011.