Autocovariance

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La fonction d'autocovariance d'un processus stochastique X = { X t , t ∈ N } {\displaystyle X=\{X_{t},t\in \mathbb {N} \}} permet de caractériser les dépendances linéaires existant au sein de ce processus[1].

Définition — Si le processus X {\displaystyle X} est à valeurs dans R {\displaystyle \mathbb {R} } et admet une variance V ⁡ ( X t ) {\displaystyle \operatorname {V} (X_{t})} pour n'importe quel t ∈ N {\displaystyle t\in \mathbb {N} } , on définit la fonction d'autocovariance de X {\displaystyle X} par la fonction notée R {\displaystyle R} qui à tout couple d'entiers naturels ( t , s ) {\displaystyle (t,s)} associe le nombre noté R ( t , s ) {\displaystyle R(t,s)} et défini par R ( t , s ) ≡ Cov ⁡ ( X t , X s ) = E ⁡ [ ( X t − μ t ) ( X s − μ s ) ] {\displaystyle R(t,s)\equiv \operatorname {Cov} (X_{t},X_{s})=\operatorname {E} \left[(X_{t}-\mu _{t})(X_{s}-\mu _{s})\right]} , où μ t = E ⁡ ( X t ) {\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} (X_{t})}

Si X {\displaystyle X} est un processus stationnaire au sens faible alors μ t = μ s {\displaystyle \mu _{t}=\mu _{s}} et Cov ⁡ ( X t , X s ) = Cov ⁡ ( X t + k , X s + k ) {\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{t},X_{s})=\operatorname {Cov} (X_{t+k},X_{s+k})} pour n'importe quels entiers naturels t , s , k {\displaystyle t,s,k} . Dans ce cas R ( t , s ) = R ( | t − s | , 0 ) {\displaystyle R(t,s)=R(|t-s|,0)} et il suffit alors de définir les autocovariances par la fonction qui à tout k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } associe γ ( k ) ≡ R ( k , 0 ) = Cov ⁡ ( X k , X 0 ) {\displaystyle \gamma (k)\equiv R(k,0)=\operatorname {Cov} (X_{k},X_{0})} . La fonction d'autocovariance apparaît alors comme la covariance de ce processus avec une version décalée de lui-même. On appelle γ ( k ) {\displaystyle \gamma (k)} l'autocovariance d'ordre k {\displaystyle k} [2].

Propriété — Si X {\displaystyle X} est stationnaire au sens faible, γ ( − k ) = γ ( k ) {\displaystyle \gamma (-k)=\gamma (k)}

Cette propriété résulte directement du fait que γ ( k ) = R ( | k | , 0 ) = R ( | − k | , 0 ) = γ ( − k ) {\displaystyle \gamma (k)=R(|k|,0)=R(|-k|,0)=\gamma (-k)} . Voir pour cette propriété Hamilton (1994, p. 46).

Notes

  1. ↑ On utilise aussi pour cela la fonction d'autocorrélation
  2. ↑ Voir par exemple Hamilton (1994) et Maddala et Kim (1998)

Références

  • (en) William H. Greene, Econométrie, Paris, Pearson Education, , 5e éd., 943 p. (ISBN 978-2-7440-7097-6), p. 2
  • (en) James Douglas Hamilton, Time Series Analysis, Princeton N.J, Princeton University Press, , 799 p. (ISBN 978-0-691-04289-3, LCCN 93004958), p. 799
  • (en) Gangadharrao Soundaryarao Maddala, Unit Roots, Cointegration and Structural Change, Cambridge, Cambridge University Press, , 5e éd., relié (ISBN 978-0-521-58257-5, LCCN 98017325), p. 505

Voir aussi

  • icône décorative Portail des probabilités et de la statistique