Cœur d'un sous-groupe

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, l'intersection des conjugués, dans un groupe G {\displaystyle G} , d'un sous-groupe H {\displaystyle H} de G {\displaystyle G} est appelée le cœur de H {\displaystyle H} (dans G {\displaystyle G} )[1] et est notée cœurG(H)[2] ou encore H G {\displaystyle H_{G}} [3].

Le cœur de H {\displaystyle H} dans G {\displaystyle G} est le plus grand sous-groupe normal de G {\displaystyle G} contenu dans H {\displaystyle H} .

Si on désigne par G {\displaystyle G} / H {\displaystyle H} l'ensemble des classes à gauche de G {\displaystyle G} modulo H {\displaystyle H} (cet ensemble n'est pas forcément muni d'une structure de groupe, H {\displaystyle H} n'étant pas supposé normal dans G {\displaystyle G} ), on sait que G {\displaystyle G} opère à gauche sur G {\displaystyle G} / H {\displaystyle H} par :

G × G / H → G / H : ( g , X ) ↦ g X {\displaystyle G\times G/H\rightarrow G/H:(g,X)\mapsto gX}

Le cœur de H {\displaystyle H} dans G {\displaystyle G} est le noyau de cette opération. Il en résulte que G / H G {\displaystyle G/H_{G}} est isomorphe à un sous-groupe de S G / H {\displaystyle S_{G/H}} (groupe des permutations de l'ensemble G / H {\displaystyle G/H} ). En particulier, si H {\displaystyle H} est d'indice fini n {\displaystyle n} dans G {\displaystyle G} , H G {\displaystyle H_{G}} est lui aussi d'indice fini dans G {\displaystyle G} et cet indice divise n ! {\displaystyle n!} (factorielle de n {\displaystyle n} ).

Comme exemple d'usage de la notion de cœur d'un sous-groupe, on peut citer un théorème de Øystein Ore selon lequel deux sous-groupes maximaux d'un groupe fini résoluble qui ont le même cœur sont forcément conjugués[4]. Ce théorème permet de prouver des théorèmes bien connus de Philip Hall et de Roger Carter (en)[5].

Notes et références

  1. ↑ Jean Delcourt, Théorie des Groupes, 2e éd., 2007, p. 81, écrit dans une note de bas de page : « [Ce sous-groupe] se nomme en anglais le core de H {\displaystyle H} , ce qui peut se traduire par cœur ». Pierre Fima, Groupes, groupes quantiques et algèbres d'opérateurs, Mémoire d'habilitation, Université Paris Diderot - Paris 7, 2014, en ligne, donne cette définition plus générale : « Soit Σ < H {\displaystyle \Sigma <H} un sous-groupe et S ⊂ H {\displaystyle S\subset H} un sous-ensemble. Le cœur de Σ {\displaystyle \Sigma } relativement à S {\displaystyle S} est l'ensemble cœurS( Σ {\displaystyle \Sigma } )= ⋂ h ∈ S h − 1 Σ h {\displaystyle \bigcap _{h\in S}h^{-1}\Sigma h} . » Dans la phrase suivante, il désigne par « cœur de Σ {\displaystyle \Sigma }  » le cœur de Σ {\displaystyle \Sigma } dans H {\displaystyle H} .
  2. ↑ Pierre Fima, Groupes, groupes quantiques et algèbres d'opérateurs, Mémoire d'habilitation, Université Paris Diderot - Paris 7, 2014, en ligne
  3. ↑ Voir par exemple Yakov Berkovich, « Alternate proofs of some basic theorems of finite group theory », Glasnik Matematički, vol. 40, no 60,‎ , p. 207-233 (lire en ligne), p. 207.
  4. ↑ O. Ore, « Contributions to the theory of groups of finite order », dans Duke Mathematical Journal, vol. 5 (1938), 431-460. Référence fournie par Berkovich 2005, p. 233, qui donne une démonstration (pp. 210-211).
  5. ↑ Voir Berkovich 2005, qui donne des démonstrations (pp. 210-212).
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