Quadrifolium

En mathématiques, un quadrifolium est une courbe plane obtenue en traçant une sinusoïde en coordonnées polaires, plus précisément une rosace avec k = 2, donc à quatre pétales.

Son équation en coordonnées polaires est :

${\displaystyle r=\cos(2\theta ),\,}$

l'équation cartésienne correspondante est

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=(x^{2}-y^{2})^{2}.\,}$

Pivoté de 45°, ces deux équations deviennent

${\displaystyle r=\sin(2\theta )\,}$

et

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=4x^{2}y^{2}.\,}$

Ces deux équations cartésiennes sont celles d'une courbe algébrique plane de genre zéro.

Sa courbe duale a pour équation :

${\displaystyle (x^{2}-y^{2})^{4}+837(x^{2}+y^{2})^{2}+108x^{2}y^{2}=16(x^{2}+7y^{2})(y^{2}+7x^{2})(x^{2}+y^{2})+729(x^{2}+y^{2}).\,}$

L'aire de la zone à l'intérieur de la courbe est ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$, qui est exactement la moitié de l'aire du disque unité, dont le bord est le cercle circonscrit à la courbe. La longueur de la courbe est environ 9,6884^[1].

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quadrifolium » (voir la liste des auteurs).
• (en) J. Dennis Lawrence, A catalog of special plane curves, New York, Dover, 1972, 218 p. (ISBN 0-486-60288-5, lire en ligne), p. 175

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