Racine carrée de trois

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Liste des nombres - Nombres irrationnels
√2 - φ - √3 - √5 - e - π
Binaire 1.1011101101100111101...
Décimal 1.7320508075688772935...
Hexadécimal 1.BB67AE8584CAA73B...
Fraction continue 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 2 + … {\displaystyle 1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+\ldots }}}}}}}}}

En mathématiques, la (principale) racine carrée de trois est le nombre réel positif dont le carré est 3 exactement. Notée √3 ou 31/2, elle vaut approximativement 1,732. Le rationnel 97/56 en est une approximation par excès à 10 − 4 {\displaystyle 10^{-4}} près.

On l’appelle parfois constante de Théodore[1], Théodore de Cyrène ayant démontré son irrationalité.

Définition, notation et énonciation

  • Il existe deux nombres réels opposés dont le carré est 3 ; autrement dit : 3 possède deux racines carrées, opposées. Par convention, la notation √3 désigne la racine carrée positive de 3, et nécessairement, −√3 désigne la racine carrée négative de 3. Mais √3 se lit simplement racine carrée de trois, voire plus simplement racine de trois. Dans le corps des nombres complexes, la notation √3 désigne la détermination principale de la racine carrée prise au point 3. Le symbole   {\displaystyle {\sqrt {\quad }}~} ou √ s’appelle un radical.
  • √3 se note également 31/2, qui se lit trois puissance un demi (notation Unicode : 3½).
  • Dans les langages informatiques, √3 s'écrit en généralsqrt(3), par exemple Math.sqrt(3)en JavaScript.

Historique

En histoire des sciences ou en pédagogie,  √3  commence à exister dans des considérations d’aires.  À gauche,  √3  est le rapport  k  d’une similitude qui multiplie les aires par  3.  À droite, une relation de Pythagore est prouvée par plusieurs décompositions de motifs répétitifs d’un pavage de Pythagore.

Développement décimal

3 = 1,732   050   8 ⋯ {\displaystyle {\sqrt {3}}=1{,}732~050~8\cdots }  ; ses décimales forment la suite A002194 de l'OEIS.

Dix milliards de décimales ont été calculées[2] en 2013.

On conjecture que √3 est un nombre normal, à savoir que toute suite finie de décimales consécutives (ou séquence) apparaît avec la même fréquence limite que toute séquence de même longueur.

Développement en fraction continue

Construction de la suite ( u n ) {\displaystyle (u_{n})}  ; les termes d'indice pair croissent vers √3, ceux d'indice impair décroissent vers √3.

Le développement en fraction continue simple de √3 est :   1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 2 + … = [ 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , … ] = [ 1 , 1 , 2 ¯ ] {\displaystyle \ 1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+\ldots }}}}}}}}=[1,1,2,1,2,\dots ]=[1,{\overline {1,2}}]} .

Comme dans toute fraction continue d’un nombre irrationnel, les approximations par défaut et par excès alternent indéfiniment dans la suite des meilleures approximations rationnelles de √3.  En voici les neuf premiers termes :   u 0 = 1 ,   2 ,   5 3 ,   7 4 ,   19 11 ,   26 15 ,   71 41 ,   97 56 ,   u 8 = 265 153 . {\displaystyle \ u_{0}=1,\ 2,\ {\frac {5}{3}},\ {\frac {7}{4}},\ {\frac {19}{11}},\ {\frac {26}{15}},\ {\frac {71}{41}},\ {\frac {97}{56}},\ u_{8}={\frac {265}{153}}.}

√3 est irrationnel, et solution d'une équation de degré 2 à coefficients entiers, donc rationnels ; √3 est donc irrationnel quadratique. Son développement en fraction continue est donc périodique. La période de ce développement est de longueur 2.

Les réduites de la fraction continue simple forment la suite ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} définie par :   u 0 = 1 ,   u n + 1 = u n + 3 u n + 1 {\displaystyle \ u_{0}=1,\ u_{n+1}={\frac {u_{n}+3}{u_{n}+1}}} .

Expressions explicites :

  • ∀   n ⩾ 0 ,   u n = 3 ( 1 + 3 ) n + 1 + ( 1 − 3 ) n + 1 ( 1 + 3 ) n + 1 − ( 1 − 3 ) n + 1 {\displaystyle \forall \ n\geqslant 0,\ u_{n}={\sqrt {3}}{\frac {(1+{\sqrt {3}})^{n+1}+(1-{\sqrt {3}})^{n+1}}{(1+{\sqrt {3}})^{n+1}-(1-{\sqrt {3}})^{n+1}}}}  ;
  • ∀   n ⩾ 2 ,   u n = ⌊ ( 1 + 3 ) n + 1 ⌉ ⌊ ( 1 + 3 ) n + 1 3 ⌉ {\displaystyle \forall \ n\geqslant 2,\ u_{n}={\frac {\left\lfloor (1+{\sqrt {3}})^{n+1}\right\rceil }{\left\lfloor {\frac {(1+{\sqrt {3}})^{n+1}}{\sqrt {3}}}\right\rceil }}} , où ⌊ x ⌉ {\displaystyle \left\lfloor x\right\rceil } signifie l'entier le plus proche de x {\displaystyle x} .

Archimède connaissait l'encadrement[3],[4] :   u 8 = 265 153 < 3 < 1351 780 = u 11 {\displaystyle \ u_{8}={\frac {265}{153}}<{\sqrt {3}}<{\frac {1351}{780}}=u_{11}} .
Pour fixer les idées :   u 8 ≈ 1,732   026   ; u 11 ≈ 1,732   051 {\displaystyle \ u_{8}\approx 1{,}732~026\ ;u_{11}\approx 1{,}732~051} .

Les numérateurs forment la suite A002531 de l'OEIS, et les dénominateurs la suite A002530 de l'OEIS.

Représentation de la suite des réduites de √3.

La fraction continue simple 3 =   1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 2 + … {\displaystyle {\sqrt {3}}=\ 1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+\ldots }}}}}}}}} peut aussi s'écrire sous forme de fraction continue généralisée : 3 =   1 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + … {\displaystyle {\sqrt {3}}=\ 1+{\frac {2}{2+{\frac {2}{2+{\frac {2}{2+{\frac {2}{2+\ldots }}}}}}}}}

La suite des réduites de cette autre fraction continue généralisée : [ 2 ; − 4 , − 4 , − 4 , . . . ] = 2 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − ⋱ {\displaystyle [2;-4,-4,-4,...]=2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-\ddots }}}}}}} est la sous-suite ( u 2 n + 1 ) {\displaystyle (u_{2n+1})} de ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} .

Suite de Héron

La suite de Héron convergeant vers √3 est définie par :    v 0 = 1 ,   v n + 1 = v n + 3 / v n 2 {\displaystyle \ v_{0}=1,\ v_{n+1}={\frac {v_{n}+3/v_{n}}{2}}} .

Ses premiers termes sont :   1 ,   2 ,   7 4 ,   v 3 = 97 56 ≈ 1,732   143   {\displaystyle \ 1,\ 2,\ {\frac {7}{4}},\ v_{3}={\frac {97}{56}}\approx 1{,}732~143\ } (valeur approchée mentionnée en introduction).

Les numérateurs de la suite de Héron forment la suite A002812 de l'OEIS, et ses dénominateurs la suite A071579 de l'OEIS.

( v n ) {\displaystyle (v_{n})}  est une sous-suite de  ( u n ) {\displaystyle (u_{n})}  ; plus précisément :   v n = u ( 2 n − 1 ) {\displaystyle \ v_{n}=u_{(2^{n}-1)}} .
( v n ) {\displaystyle (v_{n})} décroît rapidement vers √3 (convergence quadratique).

Une suite croissante associée est ( 3 / v n ) {\displaystyle (3/v_{n})} , d'où l’encadrement :   3 / v n < 3 < v n {\displaystyle \ 3/v_{n}<{\sqrt {3}}<v_{n}} .
Pour n = 4 {\displaystyle n=4} , cet encadrement permet déjà d’obtenir :   3 ≈ 1,732   050   81 {\displaystyle \ {\sqrt {3}}\approx 1{,}732~050~81} .

Expression comme somme de série

3 = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n n ) 6 n {\displaystyle {\sqrt {3}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{6^{n}}}}  ; voir Coefficient binomial central, Série génératrice.

Expressions par radicaux infiniment imbriqués

  • 1 + 3 = 2 + 2 2 + 2 2 + ⋯ {\displaystyle 1+{\sqrt {3}}={\sqrt {2+2{\sqrt {2+2{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}  ; voir Radical imbriqué, Racine carrée.
  • 3 = 3 3 3 ⋯ 3 3 3   ,   {\displaystyle {\sqrt {3}}={\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3{\sqrt[{3}]{3\cdots }}}}}}\ ,\ } car   1 3 + 1 3 2 + 1 3 3 + ⋯ = 1 2 {\displaystyle \ {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{2}}} .

En trigonométrie

√3 admet plusieurs expressions trigonométriques :

3 = tan ⁡ π 3 = cot ⁡ π 6 = 2 sin ⁡ π 3 = 2 cos ⁡ π 6 =   2 − tan ⁡ π 12 , {\displaystyle {\sqrt {3}}=\tan {\frac {\pi }{3}}=\cot {\frac {\pi }{6}}=2\sin {\frac {\pi }{3}}=2\cos {\frac {\pi }{6}}=\ 2-\tan {\frac {\pi }{12}},\quad } où π 3 , π 6 , {\displaystyle {\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{6}},} et π 12 {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}} sont des angles exprimés en radians ( π 12   r a d = 15 ∘ ) . {\displaystyle \left({\frac {\pi }{12}}\ \mathrm {rad} =15^{\circ }\right).}

En algèbre

√3  est un nombre algébrique de polynôme minimal  X2 − 3, donc un entier quadratique (entier algébrique de degré 2).

Les racines cubiques de l'unité sont :   1 ,   − 1 + i 3 2   {\displaystyle \ 1,\ {\frac {-1+{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}\ } et   − 1 − i 3 2 . {\displaystyle \ {\frac {-1-{\rm {i}}{\sqrt {3}}}{2}}.}

En géométrie

  • La diagonale d'un cube de côté 1 vaut √3.
  • La hauteur d'un triangle équilatéral de côté 1 vaut √3/2. Ceci donne un moyen de construction de √3 à la règle et au compas. Cette propriété entraîne les suivantes :
    • l'aire d'un triangle équilatéral de côté 1 vaut √3/4 ; l'aire d'un tétraèdre régulier de côté 1 vaut donc √3 ;
    • la distance entre deux côtés opposés d'un hexagone régulier de côté 1 vaut √3 ;
    • √3 est le rapport des longueurs des diagonales d'un losange d'angles 60° et 120° ;
    • √3 est le rapport entre la longueur et la largeur de la figure Vesica piscis.
  • Diagonale d'un cube unité.
    Diagonale d'un cube unité.
  • Proportions entre le côté d'un triangle équilatéral et sa hauteur.
    Proportions entre le côté d'un triangle équilatéral et sa hauteur.
  • Hexagone avec ses cotes relatives.
    Hexagone avec ses cotes relatives.
  • Vesica piscis avec son losange 60°-120° inscrit : '"`UNIQ--postMath-00000029-QINU`"'.
    Vesica piscis avec son losange 60°-120° inscrit :   C D / A B = 3 {\displaystyle \ CD/AB={\sqrt {3}}} .

Notes et références

  1. ↑ (en) Eric W. Weisstein, « Theodorus' Constant », sur MathWorld avec bibliographie et liens vers l'OEIS pour son développement en système décimal, en système binaire, et en fraction continue.
  2. ↑ (en) Komsta, Łukasz, « Computations »
  3. ↑ David Wells, Le dictionnaire Penguin des nombres curieux, Eyrolles, , p. 41
  4. ↑ (en) Wilbur R. Knorr, « Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation », Archive for History of Exact Sciences, no 15 (2),‎ , p. 121 (lire en ligne)

Voir aussi

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  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres