Spirale sinusoïdale

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Quelques cas particuliers de spirales sinusoïdales.

En géométrie, les spirales sinusoïdales sont une famille de courbes planes, regroupant de multiples courbes usuelles.

Définitions

Une spirale sinusoïdale peut se définir par son équation polaire :

r n = 2 a n cos ⁡ ( n θ ) {\displaystyle r^{n}=2a^{n}\cos(n\theta )}

où a est un réel positif et n un réel.

Propriétés

La courbe est bornée et formée d'un motif de base symétrique défini entièrement pour | θ | ≤ π 2 n {\textstyle |\theta |\leq {\frac {\pi }{2n}}} , fermé si n est positif, à asymptotes si n est négatif. On reconstruit la spirale entière par rotations successives du motif pour les angles 2 k π n {\textstyle {\frac {2k\pi }{n}}} , avec k entier.

La spirale sinusoïdale est une courbe algébrique si et seulement si n est un nombre rationnel.

Si n est un entier positif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points dont la moyenne géométrique des distances aux sommets d'un polygone régulier est égale au rayon de ce polygone.

Si n est un entier négatif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points M tels que la moyenne des angles des droites joignant les sommets d'un polygone régulier à M avec une direction fixe est constante.

La longueur de la courbe vaut :

2 a 2 n ∫ 0 π 2 cos 1 n − 1 ⁡ θ d θ = a 2 n B ( 1 2 , 1 2 n ) = a 2 n π Γ ( 1 2 n ) Γ ( n + 1 2 n ) , {\displaystyle 2a{\sqrt[{n}]{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{{\frac {1}{n}}-1}\theta \,\mathrm {d} \theta =a{\sqrt[{n}]{2}}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2n}}\right)=a{\sqrt[{n}]{2}}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2n}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n+1}{2n}}\right)}},}

où B désigne la fonction bêta. L'aire contenue par la courbe vaut :

4 a 2 ∫ 0 π 2 cos 2 n ⁡ θ d θ = 2 a 2 B ( 1 2 , 1 n + 1 2 ) = 2 a 2 π Γ ( 1 n + 1 2 ) Γ ( 1 + 1 n ) . {\displaystyle 4a^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \,\mathrm {d} \theta =2a^{2}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)=2a^{2}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}}.}

La podaire de la spirale sinusoïdale de paramètre n par rapport à son centre est la spirale sinusoïdale de paramètre n⁄n+1.

Cas particuliers

Pour certaines valeurs bien choisies de n, on reconnait des courbes planes usuelles :

  • n=1⁄3 : sextique de Cayley
  • n=1⁄2 : cardioïde
  • n=1 : cercle
  • n=2 : lemniscate de Bernoulli
  • n=3 : courbe de Kiepert
  • n=-1⁄3 : cubique de Tschirnhausen
  • n=-1⁄2 : parabole
  • n=-1 : droite
  • n=-2 : hyperbole équilatère
  • n=-3 : cubique de Kiepert

Liens externes

  • Spirale sinusoïdale sur Mathcurve
  • (en) Eric W. Weisstein, « Sinusoidal Spiral », sur MathWorld
  • icône décorative Portail de la géométrie