Variation totale d'une fonction

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Ne doit pas être confondu avec la variation totale d'une mesure.

Alors que le point vert se déplace sur le graphe de la fonction donnée, la longueur du chemin parcouru par la projection sur l'axe y de ce déplacement, ici montré par un point rouge, représente la variation totale de la fonction.

En mathématiques, la variation totale est liée à la structure (locale ou globale) du codomaine d'une fonction.

Pour une fonction continue à valeurs réelles f, définie sur un intervalle [a, b] ⊂ ℝ, sa variation totale sur l'intervalle de définition est une mesure de la longueur d'arc de la projection sur l'axe des ordonnées de la courbe paramétrée (x, f(x)), pour x ∈ [a, b].

Note historique

L'idée de variation totale pour les fonctions d'une variable réelle a d'abord été introduite par Camille Jordan[1], afin de démontrer un théorème de convergence pour les séries de Fourier de fonctions discontinues périodiques à variation bornée. L'extension du concept aux fonctions de plusieurs variables n'est pas si simple.

Définition

Fonctions d'une variable réelle

La variation totale d'une fonction d'une variable réelle (ou complexe) f, définie sur un intervalle [ a , b ] ⊂ R {\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} } est donnée par :

V b a ( f ) = sup P ∑ i = 0 n P − 1 | f ( x i + 1 ) − f ( x i ) | , {\displaystyle V_{b}^{a}(f)=\sup _{\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,\,}

où le supremum vaut sur l'ensemble des partitions P = { P = { x 0 , … , x n P } | P  est une partition de  [ a , b ] } {\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}|P{\text{ est une partition de }}[a,b]\right\}} de l'intervalle donné.

Fonctions de plusieurs variables réelles

Soit Ω un sous-ensemble ouvert de ℝn. Pour une fonction f dans L1(Ω), la variation totale de f sur Ω est définie par :

V ( f , Ω ) := sup { ∫ Ω f ( x ) div ⁡ ϕ ( x ) d x : ϕ ∈ C c 1 ( Ω , R n ) ,   ‖ ϕ ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ 1 } , {\displaystyle V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f(x)\operatorname {div} \phi (x)\,\mathrm {d} x\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \phi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},}

où C c 1 ( Ω , R n ) {\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})} est l'ensemble des fonctions à valeurs vectorielles continûment différentiables à support compact contenu dans Ω, et ‖ ‖ L ∞ ( Ω ) {\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}} est la norme liée à la borne supérieure essentielle. On remarquera qu'il n'est pas utile ici d'avoir un domaine Ω ⊆ R n {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}} borné.

Propriétés

Variation totale de fonctions différentiables

La variation totale d'une fonction différentiable peut être donnée par une intégrale dépendant de la fonction plutôt que la borne supérieure de fonctionnelles comme vu auparavant.

Variation totale d'une fonction d'une variable réelle dérivable

La variation totale d'une fonction dérivable f, définie sur un intervalle réel [a , b], peut être exprimée ainsi si sa dérivée f' est Riemann-intégrable

V b a ( f ) = ∫ a b | f ′ ( x ) | d x {\displaystyle V_{b}^{a}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\mathrm {d} x}

Variation totale d'une fonction de plusieurs variables réelles différentiable

Soit une fonction f définie et différentiable sur un ensemble ouvert borné Ω ⊆ R n {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}} , la variation totale de f est alors donnée par

V ( f , Ω ) = ∫ Ω | ∇ f ( x ) | d x {\displaystyle V(f,\Omega )=\int \limits _{\Omega }\left|\nabla f(x)\right|\mathrm {d} x}

où | . | {\displaystyle |.|} désigne la norme l2.

Démonstration

On commence par prouver une égalité qui vient du théorème de Green-Ostrogradsky.

Sous les conditions du théorème, on a :
∫ Ω f d i v ϕ = − ∫ Ω ∇ f ⋅ ϕ {\displaystyle \int _{\Omega }f\,\mathrm {div} \phi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \phi }

En effet, par le théorème de Green-Ostrogradsky

∫ Ω d i v F = ∫ ∂ Ω F ⋅ n {\displaystyle \int _{\Omega }\mathrm {div} \mathbf {F} =\int _{\partial \Omega }\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} }

en prenant F := f ϕ {\displaystyle \mathbf {F} :=f\mathbf {\phi } } , il vient :

∫ Ω div ( f ϕ ) = ∫ ∂ Ω ( f ϕ ) ⋅ n {\displaystyle \int _{\Omega }{\text{div}}\left(f\mathbf {\phi } \right)=\int _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\phi } \right)\cdot \mathbf {n} }

où ϕ {\displaystyle \mathbf {\phi } } est nulle sur le bord de Ω par définition :

0 = ∫ Ω div ( f ϕ ) = ∫ Ω ∂ x i ( f ϕ i ) = ∫ Ω ( ϕ i ∂ x i f + f ∂ x i ϕ i ) ⇔ ∫ Ω f ∂ x i ϕ i = − ∫ Ω ϕ i ∂ x i f ⇔ ∫ Ω f div ϕ = − ∫ Ω ϕ ⋅ ∇ f {\displaystyle 0=\int _{\Omega }{\text{div}}\left(f\mathbf {\phi } \right)=\int _{\Omega }\partial _{x_{i}}\left(f\mathbf {\phi } _{i}\right)=\int _{\Omega }(\mathbf {\phi } _{i}\partial _{x_{i}}f+f\partial _{x_{i}}\mathbf {\phi } _{i})\,\Leftrightarrow \,\int _{\Omega }f\partial _{x_{i}}\mathbf {\phi } _{i}=-\int _{\Omega }\mathbf {\phi } _{i}\partial _{x_{i}}f\,\Leftrightarrow \,\int _{\Omega }f{\text{div}}\mathbf {\phi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\phi } \cdot \nabla f}

Ainsi, l'égalité suivante est vérifiée :

∫ Ω f div ϕ = − ∫ Ω ϕ ⋅ ∇ f ≤ | ∫ Ω ϕ ⋅ ∇ f | ≤ ∫ Ω | ϕ | ⋅ | ∇ f | ≤ ∫ Ω | ∇ f | {\displaystyle \int _{\Omega }f{\text{div}}\mathbf {\phi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\phi } \cdot \nabla f\leq \left|\int _{\Omega }\mathbf {\phi } \cdot \nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\mathbf {\phi } \right|\cdot \left|\nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}

Dans le dernier terme, ϕ {\displaystyle \mathbf {\phi } } peut être écarté, car par définition, sa borne supérieure essentielle vaut au plus 1.

Maintenant, considérons θ ( x ) := ∇ f ( x ) | ∇ f ( x ) | {\displaystyle \theta (x):={\frac {\nabla f(x)}{\left|\nabla f(x)\right|}}} lorsque | ∇ f ( x ) | ≠ 0 {\displaystyle |\nabla f(x)|\neq 0} et θ ( x ) = 0 {\displaystyle \theta (x)=0} sinon. Pour ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} , soit ensuite θ ε ∗ {\displaystyle \theta _{\varepsilon }^{*}} une approximation de θ {\displaystyle \theta } à ε {\displaystyle \varepsilon } près dans C c 1 ( Ω ; R n ) {\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ;\mathbb {R} ^{n})} et de même intégrale. Cette approximation est possible car C c 1 {\displaystyle C_{c}^{1}} est dense dans L1. Maintenant, en remplaçant dans l'égalité du lemme précédent :

lim ε → 0 ∫ Ω f div θ ε ∗ = lim ε → 0 ∫ Ω θ ε ∗ ⋅ ∇ f = ∫ Ω θ ⋅ ∇ f = ∫ Ω | ∇ f | {\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Omega }f{\text{div}}\theta _{\varepsilon }^{*}=\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Omega }\mathbb {\theta } _{\varepsilon }^{*}\cdot \nabla f=\int _{\Omega }\theta \cdot \nabla f=\int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}

On a ainsi une suite convergente de ∫ Ω f div ϕ {\displaystyle \int _{\Omega }f{\text{div}}\mathbf {\phi } } qui tend vers ∫ Ω | ∇ f | {\displaystyle \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|} alors qu'on avait ∫ Ω f div ϕ ≤ ∫ Ω | ∇ f | {\displaystyle \int _{\Omega }f{\text{div}}\mathbf {\phi } \leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|} , ce qui permet de conclure.

On dit que f est à variation bornée si sa variation totale est finie.

Applications

La variation totale peut être vue comme une fonctionnelle positive d'une variable réelle (pour le cas à une seule variable) ou sur l'espace des fonctions intégrables (pour le cas à plusieurs variables). Comme fonctionnelle, la variation totale trouve plusieurs applications en mathématiques et ingénierie, comme le contrôle optimal, l'analyse numérique, ou le calcul variationnel, où la solution d'un problème doit être à variation totale minimale. On pourra citer deux types de problèmes courants :

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Total variation » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Camille Jordan, « Sur la série de Fourier », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 92,‎ , p. 228-230 (zbMATH 13.0184.01, lire en ligne), selon (en) B. I. Golubov, « Variation of a function », sur Encyclopædia of Mathematics.

Voir aussi

Articles connexes

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Bibliographie

  • (en) C. Raymond Adams (en) et James A. Clarkson (en), « On definitions of bounded variation for functions of two variables », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 35,‎ , p. 824-854 (MR 1501718, zbMATH 0008.00602, lire en ligne)
  • (it) Cesare Arzelà, « Sulle funzioni di due variabili a variazione limitata (On functions of two variables of bounded variation) », Rendiconto delle sessioni della Reale Accademia delle scienze dell'Istituto di Bologna, vol. IX, no 4,‎ , p. 100-107 (zbMATH 36.0491.02, lire en ligne [archive du ])
  • (it) Lamberto Cesàri (en), « Sulle funzioni a variazione limitata », Annali della Scuola Normale Superiore, iI, vol. 5, nos 3-4,‎ , p. 299-313 (MR 1556778, zbMATH 0014.29605, lire en ligne)
  • (de) Hans Hahn, Theorie der reellen Funktionen, Berlin, Springer Verlag, , VII+600 (lire en ligne [archive du ])
  • Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
  • Stanisław Saks, Théorie de l'intégrale, (lire en ligne)
  • (it) Giuseppe Vitali, « Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali », Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino, vol. 43,‎ , p. 75-92 (zbMATH 39.0101.05, lire en ligne [archive du ])

Liens externes

  • (en) Todd Rowland, « Total Variation », sur MathWorld
  • (en) B. I. Golubov, « Arzelà variation », sur Encyclopædia of Mathematics
  • (en) B. I. Golubov, « Vitali variation », sur Encyclopædia of Mathematics
  • (en) B. I. Golubov, « Hardy variation », sur Encyclopædia of Mathematics
  • (en) B. I. Golubov, « Pierpont variation », sur Encyclopædia of Mathematics
  • (en) B. I. Golubov, « Tonelli plane variation », sur Encyclopædia of Mathematics
  • (en) Boris I. Golubov et Anatoli G. Vitushkin, « Variation of a function », sur Encyclopædia of Mathematics

Applications

  • (en) Vincent Caselles, Antonin Chambolle et Matteo Novaga, « The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions », Multiscale Modeling and Simulation, SIAM, vol. 6, no 3,‎ (« lire en ligne »(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)) (application de la variation totale en débruitage pour le traitement de l'image).
  • (en) Leonid I. Rudin, Stanley Osher et Emad Fatemi, « Nonlinear total variation based noise removal algorithms », Physica D: Nonlinear Phenomena, no 60.1,‎ , p. 259-268 (DOI 10.1016/0167-2789(92)90242-F).
  • (en) Peter Blomgren et Tony F. Chan, « Color TV: total variation methods for restoration of vector-valued images », Image Processing, IEEE Transactions, vol. 7, no 3,‎ , p. 304-309 (DOI 10.1109/83.661180).
  • (en) Tony F. Chan et Jackie (Jianhong) Shen (2005), Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM, (ISBN 0-89871-589-X)
Texte à traduire
Texte à traduire
Portion de texte anglais à traduire en français

Texte anglais à traduire :
(with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher et Fatemi 1992).

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