Általános lineáris csoport

Általános lineáris csoportnak (vagy egyszerűen lineáris csoportnak) nevezzük és ${\displaystyle GL(V)}$-vel jelöljük a ${\displaystyle V}$ (véges vagy végtelen dimenziós) vektortér invertálható lineáris transzformációinak csoportját. (A szokásos jelölésben a GL az angol 'általános lineáris' jelentésű general linear szavak rövidítése.) Ha ${\displaystyle V}$ véges dimenziós vektortér a ${\displaystyle K}$ test felett, akkor szokás a ${\displaystyle GL(n,K)}$ vagy a ${\displaystyle GL_{n}(K)}$ jelölést használni ${\displaystyle GL(V)}$ helyett (ahol ${\displaystyle n}$ a vektortér dimenziója), ami értelmes, hiszen a ${\displaystyle K}$ feletti ${\displaystyle n}$-dimenziós vektorterek izomorfak egymással, és izomorf vektorterek transzformációcsoportjai is nyilván izomorfak. Ha ${\displaystyle K}$ véges test, amelynek elemszáma ${\displaystyle q}$, akkor a ${\displaystyle GL(n,K)}$ helyett szokásos a ${\displaystyle GL(n,q)}$ jelölés is. (Itt ${\displaystyle q}$ nyilván prímhatvány.)

Általános lineáris csoport mint mátrixok szorzáscsoportja

A véges dimenziós esetben ${\displaystyle GL(n,K)}$ elemei megfeleltethetők ${\displaystyle K}$ feletti ${\displaystyle n\times n}$-es invertálható mátrixoknak, és így ${\displaystyle GL(n,K)}$ megegyezik (izomorf) az ezek alkotta csoporttal. Ez a reprezentáció gyakran megkönnyíti a ${\displaystyle GL(n,K)}$ elemeivel való számolást.

Példák

• ${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$ a sík lineáris transzformációinak csoportja.
• ${\displaystyle GL(3,8)}$ a nyolcelemű test feletti ${\displaystyle 3\times 3}$-as, nemnulla determinánsú mátrixok szorzáscsoportja.

Elemszám

Ha ${\displaystyle K}$ végtelen test, vagy ${\displaystyle V}$ végtelen dimenziós, ${\displaystyle K}$ felett, akkor ${\displaystyle GL(V)}$ végtelen rendű csoport. Azonban véges n és q esetén ${\displaystyle GL(n,q)}$ is véges, mégpedig

${\displaystyle \displaystyle |GL(n,q)|=\prod _{j=1}^{n}\left({q^{n}-q^{j-1}}\right)}$

Ezt úgy láthatjuk be, hogy megszámoljuk, hány ${\displaystyle n\times n}$-es invertálható mátrixot állíthatunk össze a q elemű test elemeiből. Egy ilyen mátrix első sorában bármilyen n-es állhat, kivéve a csupa nullából állót; az ilyenek száma ${\displaystyle q^{n}-1}$. A második sorban bármilyen n-es állhat, ami az elsőnek nem skalárszorosa; ilyenekből ${\displaystyle q^{n}-q}$ darab van. A harmadikban ismét csak bármilyen n-es állhat, ami az első kettőnek nem skalárszorosa; ilyenekből ${\displaystyle q^{n}-q^{2}}$ darab van. Ugyanezt a gondolatmenetet folytatva a j-edik sorba ${\displaystyle q^{n}-q^{j-1}}$ n-est választhatunk. Mivel az egyes sorokat a fenti feltételek mellett egymástól függetlenül tölthetjük meg, az összes lehetséges mátrix száma a fenti variációk szorzata, ami éppen az igazolni kívánt összefüggést adja.

Néhány konkrét véges általános lineáris csoport

Alaptest rendje	Mátrixok rendje	Csoport szokásos elnevezése	Csoport rendje
2	1	Triviális csoport	${\displaystyle 1}$
3	1	${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, ötelemű ciklikus csoport	${\displaystyle 2}$
4	1	${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$, ötelemű ciklikus csoport	${\displaystyle 3}$
5	1	${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$, ötelemű ciklikus csoport	${\displaystyle 4=2^{2}}$
2	2	${\displaystyle S_{3}}$, harmadfokú szimmetrikus csoport	${\displaystyle 6=2\cdot 3}$
3	2	${\displaystyle GL(2,3)}$ általános lineáris csoport	${\displaystyle 48=2^{4}\cdot 3}$
4	2	${\displaystyle A_{5}}$ alternáló csoport	${\displaystyle 60=2^{2}\cdot 3\cdot 5}$
5	2	${\displaystyle GL(2,5)}$ általános lineáris csoport	${\displaystyle 240=2^{4}\cdot 3\cdot 5}$
2	3	${\displaystyle GL(3,2)}$ általános lineáris csoport	${\displaystyle 168=2^{3}\cdot 3\cdot 7}$

Források

• Vipul Naik: General linear group over a field. Groupprops. (Hozzáférés: 2013. november 4.)