Automorfizmus (csoportelmélet)

Az absztrakt algebra csoportelmélet nevű ágában automorfizmus a neve az olyan bijektív leképezésnek, amely művelettartó és egy csoportot önmagára képez le.

Definíció

Legyen ${\displaystyle G}$ egy csoport, és legyen ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow G}$ bijektív leképezés (azaz ${\displaystyle G}$ különböző elemeihez ${\displaystyle \varphi }$ különböző elemeket rendel, és ${\displaystyle G}$ minden eleme előáll ${\displaystyle G}$ valamely elemének képeként). Ezt a leképezést automorfizmusnak nevezzük, ha bármely ${\displaystyle a,b\in G}$-re ${\displaystyle \ \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)}$. Az automorfizmusok tehát olyan izomorfizmusok, amelyek egy csoportot önmagára képeznek le.

Példák

• Tetszőleges csoportnak automorfizmusa az identikus leképezés, vagyis az a leképezés, amely minden elemhez saját magát rendeli. Ezt az automorfizmust szokás triviális automorfizmusnak nevezni.
• A valós számok additív csoportjának automorfizmusa az a leképezés, amely minden valós számhoz a háromszorosát rendeli.
• A sík egybevágóságai által alkotott csoportnak automorfizmusa az a leképezés, amely minden ${\displaystyle S}$ egybevágósághoz a ${\displaystyle TST}$ egybevágóságot rendeli, ahol ${\displaystyle T}$ egy adott egyenesre való tükrözés.

Automorfizmus-csoport

Egy csoport automorfizmusai (a leképezések összetételével, mint művelettel) maguk is csoportot alkotnak. A ${\displaystyle G}$ csoport automorfizmusainak csoportját ${\displaystyle Aut(G)}$-vel jelöljük. ${\displaystyle Aut(G)}$ egységeleme az identikus leképezés.

Belső automorfizmusok

Legyen ${\displaystyle g\in G}$, és jelölje ${\displaystyle \tau _{g}}$ azt a leképezést, amely tetszőleges ${\displaystyle x\in G}$-hez annak a ${\displaystyle g}$-vel vett ${\displaystyle g^{-1}xg}$ konjugáltját rendeli. Akkor ${\displaystyle \tau _{g}}$ automorfizmusa ${\displaystyle G}$-nek. Az ilyen automorfizmusokat belső automorfizmusnak nevezzük.

Egy csoport belső automorfizmusai (a leképezések összetételével, mint művelettel) maguk is csoportot alkotnak. A ${\displaystyle G}$ csoport belső automorfizmusainak csoportját ${\displaystyle InnG}$-vel jelöljük. ${\displaystyle InnG}$ normálosztója ${\displaystyle AutG}$-nek. Az ${\displaystyle AutG/InnG}$ faktorcsoportot ${\displaystyle G}$ külső automorfizmus-csoportjának nevezzük és ${\displaystyle OutG}$-vel jelöljük.

${\displaystyle G}$ különböző elemeiből származhat ugyanaz a belső automorfizmus. Speciálisan ${\displaystyle \ \tau _{g}=\tau _{1}=1_{AutG}}$, ha g centrumelem. ${\displaystyle InnG}$ izomorf a ${\displaystyle G/Z(G)}$ faktorcsoporttal, és így ${\displaystyle Inn(G)=1}$ akkor és csak akkor, ha ${\displaystyle G}$ kommutatív.

Nemtriviális automorfizmus-csoportok

Az egy- és a kételemű csoport automorfizmus-csoportja triviális (csak az identikus leképezést tartalmazza). Minden más ${\displaystyle G}$ csoport automorfizmus-csoportja nemtriviális. Ezt a következő gondolatmenet igazolja:

Ha ${\displaystyle G}$ nem kommutatív, és például az ${\displaystyle a,x\in G}$ elemek nem kommutálnak, akkor x-nek a ${\displaystyle \tau _{a}}$ belső automorfizmusnál vett képe x-től különböző, így ${\displaystyle \tau _{a}}$ nem az identikus leképezés és ezért ${\displaystyle AutG}$ nem triviális.

Ha ${\displaystyle G}$ kommutatív, akkor ${\displaystyle AutG}$-nek eleme az a leképezés, ami tetszőleges ${\displaystyle g\in G}$-hez annak ${\displaystyle g^{-1}}$ inverzét rendeli. Ez éppen akkor nem az identikus leképezés, ha van olyan ${\displaystyle x\in G}$ elem, hogy ${\displaystyle x^{-1}\neq x}$ vagyis ${\displaystyle x^{2}\neq 1}$. Ha ilyen elem nincsen, azaz minden nemegység elem másodrendű, akkor ${\displaystyle G}$ felfogható egy a kételemű ${\displaystyle F_{2}}$ test feletti vektortér additív csoportjaként, és e vektortér bármely nemnulla determinánsú, nem-identikus lineáris transzformációja ${\displaystyle G}$-nek nemtriviális automorfizmusa.

Anti-automorfizmusok

Anti-automorfizmusnak nevezzük a ${\displaystyle G}$ csoport olyan önmagára való ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow G}$ bijektív leképezését, amely a szorzás sorrendjét megváltoztatja, azaz amelyre ${\displaystyle \varphi (ab)=\varphi (b)\varphi (a)}$. ${\displaystyle G}$ anti-automorfizmusainak halmazát ${\displaystyle AntautG}$ jelöli. Ha G Abel-csoport, akkor persze ${\displaystyle AntautG}$ egybeesik ${\displaystyle AutG}$-vel. Egyszerű példa anti-automorfizmusra az a leképezés, ami tetszőleges ${\displaystyle g\in G}$-hez annak ${\displaystyle g^{-1}}$ inverzét rendeli, hiszen ${\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}}$. ${\displaystyle AntautG\bigcup AutG}$ csoportot alkot a leképezésszorzásra, mint műveletre nézve. Ebben a csoportban ${\displaystyle AutG}$ direkt tényező.

Története

Csoportautomorfizmusokat először William Rowan Hamilton ír matematikus említett 1856-ban az Icosian Calculus című művében.^[1]

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• Rose, John S. Group Theory (angol nyelven). New York: Dover Publications (1994). ISBN 0-486-68194-7