Banach-tér

A „Tér” lehetséges további jelentéseiről lásd: Tér (egyértelműsítő lap).

A Banach-tér a modern analízis egyik alapvető fogalma. Teljes normált vektorteret értünk alatta, vagyis olyan vektorteret, mely a normából származtatott metrikára nézve teljes. A funkcionálanalízis egy központi objektuma. Sok végtelen dimenziós függvénytér Banach-tér.

A pontos definíció tehát a következő:

A ${\displaystyle V}$ vektortér Banach-tér pontosan akkor, ha értelmezett rajta egy ||.|| norma, melyre teljesül, hogy a belőle ${\displaystyle d(a,b):=||a-b||}$ összefüggéssel származtatott ${\displaystyle d}$ távolságra nézve a ${\displaystyle V}$ tér teljes, vagyis a ${\displaystyle V}$ térben minden Cauchy-sorozat konvergens.

Metrikus tereknél a teljesség a metrika tulajdonsága, nem pedig magáé a topologikus téré. Ekvivalens metrikára (ami ugyanazt a topológiát generálja) áttérve a teljesség elveszhet. Azonban ekvivalens normákkal ez nem történhet meg; azaz, ha az egy norma által indukált metrikában teljes a tér, akkor a vele ekvivalens normák által indukált metrikákban is teljes. A normált terek esetén a teljesség a norma által indukált topológia tulajdonsága, ami független a konkrét normától.

Elnevezés

A Banach-tér elnevezés Stefan Banach lengyel matematikus nevét őrzi, aki 1920–1922-ben Hans Hahnnal és Eduard Hellyvel közösen tanulmányozta.^[1] 1932-es monográfiájában (Théorie des opérations linéaires, Varsó) tárgyalta először részletesen és rendszeresen a teljes normált vektorterek tulajdonságait. A Banach-terek fogalmának egyébként magyar vonatkozása is van: a Banach-terekkel foglalkozó szakemberek a Banach-terek prototípusának az elsőként Riesz Frigyes magyar matematikus által tárgyalt ${\displaystyle l^{p}}$ tereket szokták tekinteni. A Banach-tér tehát tekinthető úgy, mint az ${\displaystyle l^{p}}$ terek absztrahálásából született fogalom.

Példák

1. Az ${\displaystyle l^{p}}$ (${\displaystyle {\mbox{ }}{p\in [1;\infty )}}$ ) terek olyan sorozatokból álló normált terek, mely elemeinek vektorként való értelmezésében annak p-normája véges. Ezen sorozatokból álló halmazok Banach-terek.

2. Az adott ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon folytonos függvények ${\displaystyle C[a,b]}$ tere Banach-tér a szuprémum normával.

3. Az adott ${\displaystyle [a,b]}$ intervallumon korlátos változású függvények ${\displaystyle V[a,b]}$ tere Banach-tér.

4. Az ${\displaystyle n}$-dimenziós ${\displaystyle E_{n}}$ euklideszi terek Banach-terek. Így természetesen a valós számok R halmaza is Banach-teret alkot.

5. A komplex számokból képzett ${\displaystyle n}$-dimenziós vektorok Cⁿ tere is Banach-teret alkot.

Néhány fontos tulajdonság

A Banach-terek tekinthetők a Hilbert-terek általánosításának, mivel minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is.

Megfordítva: egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér (vagyis pontosan akkor származtatható normája valamely skalárszorzatból), ha a tér feletti norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot (ez a Jordan–Neumann-tétel).

Véges dimenziós normált vektorterek mind Banach-terek, hiszen az azonos dimenziójúak topologikusan izomorfak (véges dimenziós térben minden norma ekvivalens).

Banach-térbe ható korlátos lineáris transzformációk maguk is Banach-teret alkotnak.

Egy normált tér pontosan akkor Banach-tér, ha minden abszolút konvergens sorozat konvergens.

Minden normált tér teljessé tehető, így egy Banach-teret kapunk, ami a normált teret sűrű altérként tartalmazza.

Ha egy két normált tér közötti ${\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}$ lineáris leképezés izomorfizmus, akkor, ha ${\displaystyle X}$ teljes, akkor ${\displaystyle Y}$ is teljes.

Minden véges dimenziós normált tér Banach-tér. Megfordítva, ha egy Banach-tér bázisa legfeljebb megszámlálható végtelen, akkor az véges dimenziós. Ez utóbbi a teljes metrikus terekre vonatkozó Baire-tételből következik.

Ha ${\displaystyle M}$ zárt altere az ${\displaystyle X}$ Banach-térnek, akkor ${\displaystyle M}$ szintén Bach-tér. Az ${\displaystyle X/M}$ faktortér is Banach-tér az ${\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|}$ normával.

A Banach-terek első izomorfiatétele: Ha egy két Banach-tér közötti ${\displaystyle T}$ korlátos lineáris leképezés képe zárt, akkor ${\displaystyle X/\operatorname {ker} (T)\cong T(X)}$. Itt a topologikus izomorfia fogalmáról van szó, vagyis létezik egy ${\displaystyle L}$ bijektív lineáris leképezés, ami leképezi az ${\displaystyle X/\operatorname {ker} (T)}$ teret a ${\displaystyle T(X)}$ térre, hogy ${\displaystyle L}$ és ${\displaystyle L^{-1}}$ is folytonos.

Normált terek egy ${\displaystyle X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}}$ direkt összege pontosan akkor Banach-tér, ha az összeg minden ${\displaystyle X_{j}}$ tagja Banach-tér.

A Banach–Steinhaus-tétel szerint, ha ${\displaystyle (T_{i})_{i\in I}}$ Banach-térből normált térbe menő folytonos lineáris operátorok egy családja, akkor a pontonkénti korlátosságból következik az egyenletes korlátosság.

A nyílt leképezés tétele: Egy két Banach-tér közötti ${\displaystyle T}$ folytonos lineáris leképezés pontosan akkor szürjektív, ha nyílt. Ha ${\displaystyle T}$ bijektív és folytonos, akkor a ${\displaystyle T^{-1}}$ inverz leképezés is folytonos. Ebből következik, hogy minden Banach-terek közötti bijektív korlátos lineáris operátor izomorfizmus.

A zárt grafikon tétele: Egy ${\displaystyle T\colon X\to Y}$ lineáris leképezés grafikonja pontosan akkor zárt az ${\displaystyle X\times Y}$ szorzattérben, ha a leképezés folytonos.

Banach–Alaoglu-tétel: Egy Banach-tér duális terében egy zárt egységgyolyó gyengén *-kompakt.

Minden szeparábilis ${\displaystyle X}$ Banach-térben létezik egy ${\displaystyle M}$ zárt altere ${\displaystyle l^{1}}$-nek úgy, hogy ${\displaystyle X\cong l^{1}/M}$.

Minden Banach-tér egyben Fréchet-tér.

Lineáris operátorok

Ha ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ normált terek ugyanazon ${\displaystyle \mathbb {K} }$ valós vagy komplex test fölött, akkor az összes folytonos ${\displaystyle \mathbb {K} }$-lineáris ${\displaystyle T\colon X\rightarrow Y}$ leképezés halmazát ${\displaystyle B(X,Y)}$ jelöli.

Végtelen dimenziós terekben a lineáris leképezések nem feltétlenül folytonosak.

Ekkor ${\displaystyle B(X,Y)}$ egy ${\displaystyle \mathbb {K} }$-vektortér, melyen

${\displaystyle \|T\|:=\mathrm {sup} \{\|Tx\|:x\in X{\text{ ahol }}\|x\|\leq 1\}}$

norma. Ha ${\displaystyle Y}$ Banach-tér, akkor ${\displaystyle B(X,Y)}$ is Banach-tér.

Ha ${\displaystyle X}$ Banach-tér, akkor ${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$ Banach-algebra az ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ identitásoperátorral, mint egységelemmel. A szorzás a kompozíció.

Duális tér

Ha ${\displaystyle X}$ normált tér a ${\displaystyle \mathbb {K} }$ test fölött, akkor ${\displaystyle \mathbb {K} }$ szintén Banach-tér az abszolútértékkel, mint normával. Értelmezhető a topologikus duális tér, mint ${\displaystyle X'=B(X,\mathbb {K} )}$. Általában a ${\displaystyle X^{*}}$ algebrai duális tér valódi altere.

• Ha ${\displaystyle X}$ normált tér, akkor ${\displaystyle X'}$ Banach-tér.
• Legyen ${\displaystyle X}$ normált tér; ekkor, ha ${\displaystyle X'}$ szeparábilis, akkor ${\displaystyle X}$ is szeparábilis.

A topologikus duális tér használható arra, hogy topológiát definiáljunk az ${\displaystyle X}$ téren: a gyenge topológiát. A gyenge topológia nem ekvivalens az ${\displaystyle X}$ normája által indukált topológiájával, ha ${\displaystyle X}$ dimenziója végtelen. A normatopológiában való konvergenciából következik a gyenge topológiában való konvergencia, megfordítva azonban nem. Ebben az értelemben a gyenge topológiából adódó konvergenciafeltétel gyengébb.

Létezik egy ${\displaystyle F}$ természetes leképezés ${\displaystyle X}$-ből ${\displaystyle X''=(X')'=B(X',\mathbb {K} )}$-be, a biduális térre, úgy, mint: ${\displaystyle F\colon X\to X'',F(x)(f)=f(x)}$ minden ${\displaystyle x\in X}$ és ${\displaystyle f\in X'}$ esetén. A Hahn–Banach-tételből következik, hogy minden ${\displaystyle X}$-beli ${\displaystyle x}$-re az ${\displaystyle F(x)\colon X'\to \mathbb {K} }$ folytonos, ezért ${\displaystyle X''}$ egy eleme. Az ${\displaystyle F}$ leképezés injektív és folytonos, sőt, izometrikus.

Reflexivitás

Ha a ${\displaystyle F\colon X\to X''}$ leképezés szürjektív is, így izometrikus izomorfizmus, akkor az ${\displaystyle X}$ normált tér reflexív.

Minden reflexív normált tér Banach-tér.

Egy ${\displaystyle X}$ Banach-tér pontosan akkor reflexív, ha ${\displaystyle X'}$ reflexív. Ezzel az állítással ekvivalens, hogy ${\displaystyle X}$ egységgolyója a gyenge topológiában kompakt.

Ha ${\displaystyle X}$ reflexív normált tér, ${\displaystyle Y}$ Banach-tér és létezik egy korlátos lineáris operátor ${\displaystyle X}$-ből ${\displaystyle Y}$-ba, akkor ${\displaystyle Y}$ reflexív.

Legyen ${\displaystyle X}$ reflexív normált tér; ekkor ${\displaystyle X}$ pontosan akkor szeparábilis, ha ${\displaystyle X'}$ is szeparábilis.

James-tétel: Egy ${\displaystyle X}$ Banach-térre ekvivalensek:

• ${\displaystyle X}$ reflexív.
• ${\displaystyle \forall f\in X'\ \exists x\in X}$, ahol ${\displaystyle \left\|x\right\|\leq 1}$, teljesül, hogy ${\displaystyle f(x)=\left\|f\right\|}$.

Tenzorszorzás

Legyenek ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ vektorterek ugyanazon ${\displaystyle \mathbb {K} }$ test fölött! Ekkor ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ tenzorszorzata egy ${\displaystyle \mathbb {K} }$ fölötti ${\displaystyle Z}$ vektortér, ellátva egy ${\displaystyle T\colon X\times Y\rightarrow Z}$ bilineáris leképezéssel, amire teljesül az univerzális tulajdonság: Ha ${\displaystyle T'\colon X\times Y\rightarrow Z'}$ tetszőleges bilineáris leképezés egy ${\displaystyle \mathbb {K} }$ fölötti ${\displaystyle Z'}$ vektortérben, akkor létezik pontosan egy ${\displaystyle f\colon Z\rightarrow Z'}$ lineáris leképezés úgy, hogy ${\displaystyle T'=f\circ T}$.

Különböző lehetőségek vannak a tenzorszorzat normával való ellátására; így keletkezik például a projektív tenzorszorzat és az injektív tenzorszorzat. Teljes terek tenzorszorzata nem feltétlenül teljes. Emiatt a Banach-terek elméletében tenzorszorzaton gyakran a terek tenzorszorzatának teljessé tételét értik, ami függ az alkalmazott normától.

Besorolása a matematikai struktúrák közé

Minden Hilbert-tér Banach-tér is, de ez megfordítva nem igaz. A Jordan–Neumann-tétel szerint egy Banach-tér pontosan akkor látható el a normához illeszkedő skalárszorzattal, ha teljesíti a paralelogrammaegyenlőséget.

A funkcionálanalízisben fontos terek egyike például a végtelenszer folytonosan differenciálható ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ függvények tere, vagy az ${\displaystyle \mathbb {R} }$-en értelmezett disztribúciók tere teljesek, de mivel nem normált vektorterek, azért nem Banach-terek. A Fréchet-terekben van még teljes metrika is, míg az LF-terek teljes uniform vektorterek, melyek a Fréchet-terek határeseteként felmerülnek. Itt lokálisan konvex terek, illetve topologikus vektorterek speciális osztályairól van szó.

Minden normált tér izometrikus izomorfia erejéig egyértelműen teljessé tehető, ami azt jelenti, hogy sűrű altérként Banach-térbe ágyazható.

Fréchet-derivált

Lehetséges ${\displaystyle f\colon V\to W}$ típusú függvényeket is deriválni, ahol ${\displaystyle V}$ és ${\displaystyle W}$ Banach-terek. Intuició szerint, ha ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle V}$ Banach-tér eleme, akkor ${\displaystyle f}$ deriváltja az ${\displaystyle x}$ pontban egy folytonos lineáris leképezés, ami az ${\displaystyle x}$ pont közelében az ${\displaystyle f}$ függvényt a ${\displaystyle \vert h\vert }$ távolság rendjében approximálja.

Az ${\displaystyle f}$ függvény Fréchet-differenciálható az ${\displaystyle x}$ pontban, hogyha van egy ${\displaystyle A\colon V\to W}$ folytonos lineáris leképezés úgy, hogy

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\|f(x+h)-f(x)-A(h)\| \over \|h\|}=0}$.

Itt a határérték az összes, nullvektor elemet nem tartalmazó ${\displaystyle V}$-beli sorozaton van értelmezve, ami a nullvektorhoz tart. Ha ez a határérték létezik, akkor azt mondjuk, hogy ${\displaystyle Df(x)=A}$, és ez ${\displaystyle f}$ Fréchet-deriváltja az ${\displaystyle x}$ pontban. A derivált további általánosításai véges dimenziós terek analízisével analóg módon vezethetők be. Az összes deriváltfogalomban közös a ${\displaystyle Df(x)}$ lineáris leképezés folytonossága.

A deriváltnak ez a fogalma az ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ függvények közönséges deriváltjának egy általánosítása, mivel az összes ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ lineáris leképezés konstanssal való szorzás.

Ha az ${\displaystyle f}$ függvény ${\displaystyle V}$ minden pontjában differenciálható, akkor ${\displaystyle Df\colon V\to L(V,W)}$ szintén Banach-terek közötti leképezés, de általában nem lineáris leképezés. Ez is ugyanúgy differenciálható lehet, így ${\displaystyle f}$ magasabb rendű deriváltjai is definiálhatók. Az ${\displaystyle x}$-beli ${\displaystyle n}$-edik derivált egy ${\displaystyle V_{n}\to W}$ multilineáris leképezés.

A differenciálás lineáris leképezés a következő értelemben: Ha ${\displaystyle f}$ és ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V\to W}$ leképezések, melyek differenciálhatók ugyanabban az ${\displaystyle x}$ pontban, továbbá ${\displaystyle r}$ és ${\displaystyle s}$ skalárok ${\displaystyle \mathbb {K} }$-ból, akkor ${\displaystyle rf+sg}$ is differenciálható az ${\displaystyle x}$ pontban, és

${\displaystyle D(rf+sg)(x)=rD(f)(x)+sD(g)(x)}$.

A láncszabály is teljesül ebben az összefüggésben. Ha ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle x\in V}$-ben és ${\displaystyle g\colon W\to X}$ ${\displaystyle f(x)}$-ben differenciálható, akkor ${\displaystyle g\circ f}$ differenciálható az ${\displaystyle x}$ pontban, és a derivált:

${\displaystyle D(g\circ f)(x)=D(g)(f(x))\circ D(f)(x).}$

Az irány menti deriváltak is általánosíthatók végtelen dimenziós vektorterekre; erre egy lehetőség a Gâteaux-derivált.

Banach-térbeli értékű függvények integrációja

Bizonyos feltételek teljesülése esetén lehetséges értékeiket Banach-térből felvevő függvényeket integrálni. A 20. században több különböző megközelítés is született az értékeiket Banach-térből felvevő függvények integrációjának elméletéhez. Ezek közé tartozik a Bochner-integrál, a Birkhoff-integrál és a Pettis-integrál. Véges dimenziós Banach-terekben mindezek a megközelítések ugyanahhoz az integrálhoz vezetnek, de ez végtelen dimenzióban nem feltétlenül teljesül. Távolabbról az áttérés a közönséges mértékekről a vektoriális mértékekre való áttérésről lehet beszélni, melyek értékeiket Banach-terekből veszik fel, és integrált definiálni ezeken a mértékeken.

A Banach-terek a Bochner–Lebesgue-normával típus és kotípus szerint osztályozhatók.

Jegyzetek

Források

• Járai Antal (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
• Kérchy László (1997): Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe. Polygon, Szeged.
• Mikolás Miklós (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Szőkefalvi-Nagy Béla (1972): Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 148. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8