Diédercsoport

A csoportelméletben diédercsoportnak nevezzük az olyan csoportokat, amelyeket a síknak egy adott szabályos sokszöget önmagába képező egybevágóságai alkotnak (az egybevágóságok kompozíciójával, mint művelettel). A diédercsoportok így a transzformációcsoportok közé tartoznak. Az n-oldalú szabályos sokszög egybevágóságainak csoportját ${\displaystyle D_{n}}$-nel jelöljük, minden n természetes számra (értelmezéstől és forrástól függően, esetleg az n>2 kikötéssel) létezik tehát egy diédercsoport, és így ezek száma megszámlálhatóan végtelen. Noha a diédercsoportot az elfajuló ${\displaystyle n=1}$ és ${\displaystyle n=2}$ esetekben is értelmezni lehet, ebben a cikkben általában kikötjük, hogy ${\displaystyle n\geq 3}$.

${\displaystyle D_{n}}$ elemeinek száma ${\displaystyle 2n}$. A diédercsoportok nem Abel-csoportok.

Alapvető tulajdonságok

A szabályos n-szög egybevágóságait két halmazra oszthatjuk. Az egyik halmazba az irányítástartó egybevágóságok tartoznak. Ezek az egybevágóságok az n-szöget középpontja körül ${\displaystyle {2\pi } \over n}$ valamely többszörösével elforgatják. Ilyenekből éppen n darab van. A másik, szintén n elemű halmazba irányításváltó egybevágóságok tartoznak, ezek mind a sokszög szimmetriatengelyeire vett tükrözések. Ennek alapján a ${\displaystyle D_{n}}$ diédercsoportot két eleme generálja: egy t tükrözés és egy f ${\displaystyle {2\pi } \over n}$ szöggel való elforgatás. ${\displaystyle D_{n}=\{1,f,f^{2},\dots ,f^{n-1},t,ft,f^{2}t,\dots ,f^{n-1}t\}}$ (itt 1 jelöli a sík identikus leképezését, egyben ${\displaystyle D_{n}}$ egységelemét). Az alábbi ábra a fentieket szemlélteti ${\displaystyle D_{8}}$-nak egy stoptáblára gyakorolt hatásán keresztül:

Itt a felső sorban láthatók a forgatások, az alsóban pedig a tükrözések. A forgatások egy n-edrendű ciklikus részcsoportot alkotnak. Ez egy 2 indexű normálosztó (sőt karakterisztikus részcsoport) ${\displaystyle D_{n}}$-ben, így ${\displaystyle D_{n}}$ feloldható.

Példák

Elfajuló esetek és általánosítások

n=1

A ${\displaystyle D_{1}}$ diédercsoport az „egyszög” egybevágósági csoportja. Az euklideszi síkon ez nem realizálható, de a gömbi geometriában konstruálható ilyen síkidom. Legyen P a gömbfelület egy tetszőleges pontja és f egy P-n áthaladó főkör (gömbi egyenes). P az egyszög egyetlen csúcsa, f az egyetlen él. A P-n áthaladó, f-re merőleges egyenesre való tükrözés a gömbfelületnek olyan nemidentikus egybevágósági leképezése, amely az egyszöget fixen hagyja (de az él irányítását megfordítja). Több ilyen leképezés nincsen, ezért ${\displaystyle D_{1}}$ a kételemű csoport.

n=2

${\displaystyle D_{2}}$-re is a gömbfelületen találhatunk geometriai reprezentációt. Tekintsük a gömbfelület két átellenes pontját, és két őket összekötő főkörszakaszt. Ez a két csúcs és két szakasz egy gömbi kétszöget alkot, amelyet fixen hagy az identikus leképezésen kívül még a gömbfelület két tengelyes tükrözése és a gömbfelület egy középpontos tükrözése is. Ez a négy egybevágóság alkotja a négyelemű ${\displaystyle D_{2}}$ csoportot, és mivel itt valamennyi nem identikus elem másodrendű, ${\displaystyle D_{2}}$ a két negyedrendű csoport közül a Klein-csoporttal izomorf.

Végtelen diédercsoport

Ez a szakasz egyelőre üres vagy erősen hiányos. Segíts te is a kibővítésében!

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• Properties of Dihedral Groups. Planet Math. [2007. november 30-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2011. január 14.)