Disztribúció (matematika)

A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer differenciálható függvények ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\Omega )}$ terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:

1. Van ${\displaystyle K}$ része ${\displaystyle \Omega }$, supp ${\displaystyle \phi _{j}}$, supp ${\displaystyle \phi }$ része ${\displaystyle K}$
2. Tetszőleges ${\displaystyle \alpha }$ indexvektor esetén ${\displaystyle \partial ^{\alpha }\phi _{j}\rightarrow \partial ^{\alpha }\phi }$ egyenletesen ${\displaystyle \Omega }$-n.

Azért vezetik be őket, hogy egy nagyobb függvényosztályon kereshessék a parciális differenciálegyenletek megoldását.

Példák

1. Legyen az ${\displaystyle f}$ függvény értelmezve az ${\displaystyle \Omega }$ halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán. Legyen ${\displaystyle T_{f}}$ az a funkcionál, ami a ${\displaystyle \phi }$ függvényhez az ${\displaystyle \int _{\Omega }f}$ ${\displaystyle d\phi }$ értéket rendeli. Ekkor ${\displaystyle T_{f}}$ disztribúció. Az ilyen alakban előálló disztribúciókat reguláris disztribúcióknak nevezik.
2. A Dirac-féle delta disztribúciót így értelmezik: Legyen ${\displaystyle a\in \Omega .}$ Rendelje a ${\displaystyle \delta _{a}}$ funkcionál a ${\displaystyle \phi }$ függvényhez a ${\displaystyle \phi (a)}$ helyettesítési értéket. Ekkor ${\displaystyle \delta _{a}}$ nem reguláris disztribúció.
3. Legyen az ${\displaystyle f}$ függvény értelmezve az ${\displaystyle \Omega }$ halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán, és legyen ${\displaystyle \beta }$ rögzített indexvektor. Értelmezzük a következő funkcionált: rendelje a ${\displaystyle \phi }$ függvényhez az ${\displaystyle \int _{\Omega }f\partial ^{\beta }\phi }$ értéket.

Tétel: A reguláris disztribúció ${\displaystyle T_{f}}$ majdnem mindenütt egyértelműen meghatározza az ${\displaystyle f}$ függvényt.

Műveletek

Összeadás: ${\displaystyle u,v}$ disztribúció ${\displaystyle \Omega }$-n; ekkor ${\displaystyle (u+v)(\phi )=u(\phi )+v(\phi )\phi \in D(\Omega )}$

Számmal szorzás: ${\displaystyle (\lambda u)(\phi )=\lambda u(\phi )}$

Ezekkel a műveletekkel a disztribúciók vektorteret alkotnak. Jelölés: ${\displaystyle D'(\Omega )}$

Konvergencia: legyenek ${\displaystyle u_{j},u}$ disztribúciók; ekkor ${\displaystyle u_{j}\rightarrow u,}$ ha minden rögzített ${\displaystyle \phi }$-re ${\displaystyle u_{j}(\phi )\rightarrow u(\phi )}$

Függvénnyel szorzás: legyen ${\displaystyle \psi \in C^{\infty }(\Omega )}$; ekkor ${\displaystyle (\psi u)(\phi )=u(\psi \phi )}$

${\displaystyle u=v}$ lokálisan, ha minden ${\displaystyle x\in (\Omega )}$ elemhez van ${\displaystyle U(x)}$ nyílt környezete, ahol ${\displaystyle u=v}$

Tétel: ha két disztribúció lokálisan egyenlő, akkor globálisan is egyenlők. Azaz, ha van egy nem üres nyílt halmaz, ahol egyenlőek, akkor mindenütt egyenlőek.

Deriválás: ${\displaystyle u}$ disztribúció; ${\displaystyle \partial _{j}u(\phi )=-u(\partial _{j}\phi )}$

Direkt szorzat: ${\displaystyle u,v}$ disztribúciók; ${\displaystyle (u\times v)(\phi )=u[x\rightarrow v(y\rightarrow \phi (x,y))]}$ tulajdonságai: (betű szemlélettel) kommutatív, asszociatív, disztributív és lineáris

Konvolúció: tekintsük a következő konvergenciát: def${\displaystyle .(\phi _{k})}$ * értelemben → azonosan 1-hez, ha

1. minden ${\displaystyle \alpha }$ esetén ${\displaystyle \partial ^{\alpha }(\phi -1)\rightarrow 0}$ egyenletesen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ minden rögzített kompakt részhalmazban

2. minden ${\displaystyle \alpha }$ indexvektorhoz van ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle |\partial \phi _{k}(y,z)|\leqslant c_{\alpha }}$ minden ${\displaystyle k,}$ minden ${\displaystyle (y,z)}$-re. Definíció: ${\displaystyle (u*v)(\phi )=\lim _{k\rightarrow \infty }(u\times v)[(y,z)\rightarrow \psi _{k}(y,z)\phi (y+z)]}$

A konvolúció nem mindig létezik.

Források

Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek