Egybevágóság

Az egybevágóság geometriai fogalom. Két geometriai alakzat akkor egybevágó, ha távolságtartó transzformációval leképezhetőek egymásra, azaz ha eltolással, forgatással, tükrözéssel, illetve ezek kombinációjával fedésbe hozhatók.

A geometria Hilbert-féle axiómarendszerében az egybevágóság alapfogalom. Halmazelméleti értelemben az egybevágóság ekvivalenciareláció a térbeli alakzatok halmazán.

Sokszor röviden „egybevágóságnak” nevezik a távolságtartó transzformációkat is.

Jelölése

${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ szakaszok egybevágóságát a következőképpen jelöljük:

${\displaystyle a\cong b}$ vagy ${\displaystyle b\cong a}$

Tulajdonságai

• Legyenek ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ tetszőleges egyenesek, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ az a egyenes tetszőleges pontjai, ${\displaystyle A'}$ pedig a ${\displaystyle b}$ egyenes tetszőleges pontja. Ekkor a ${\displaystyle b}$ egyenesen az ${\displaystyle A'}$ pont egy adott oldalán pontosan egy olyan ${\displaystyle B'}$ pont van, hogy ${\displaystyle AB\cong A'B'}$ teljesül.
• Minden szakasz egybevágó saját magával, azaz tetszőleges ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ pontokra teljesül, hogy ${\displaystyle AB\cong AB}$.
• Ha az ${\displaystyle AB}$ szakasz egybevágó az ${\displaystyle A'B'}$ szakasszal is és az ${\displaystyle A''B''}$ szakasszal is, akkor az ${\displaystyle A'B'}$ szakasz egybevágó az ${\displaystyle A''B''}$ szakasszal.
• Legyenek ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$ az ${\displaystyle a}$ egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$ szakaszoknak a ${\displaystyle B}$ pont az egyetlen közös pontjuk, legyenek továbbá ${\displaystyle A'B'}$, ${\displaystyle B'C'}$ az ${\displaystyle a'}$ egyenesre illeszkedő szakaszok úgy, hogy az ${\displaystyle A'B'}$, ${\displaystyle B'C'}$ szakaszoknak a ${\displaystyle B'}$ pont az egyetlen közös pontjuk. Ekkor ha ${\displaystyle AB\cong A'B'}$ és ${\displaystyle BC\cong B'C'}$, akkor ${\displaystyle AC\cong A'C'}$.
• Legyen ${\displaystyle \angle AOB}$ egy tetszőleges szög az ${\displaystyle \alpha }$ síkon, ahol a ${\displaystyle OA}$ és ${\displaystyle OB}$ a szög szárait meghatározó félegyenesek, legyen továbbá ${\displaystyle a'}$ a ${\displaystyle \alpha '}$ sík egy tetszőleges egyenese és jelölje ${\displaystyle O'A'}$ az ${\displaystyle a'}$ valamely ${\displaystyle O'}$ pontjából kiinduló egyik félegyenest. Ekkor az ${\displaystyle \alpha '}$ síkon pontosan egy olyan, az ${\displaystyle O'}$ pontból kiinduló ${\displaystyle O'B'}$ félegyenes létezik, amelyre az ${\displaystyle \angle AOB\cong \angle A'O'B'}$ (vagy ${\displaystyle \angle AOB\cong \angle B'O'A'}$) egybevágóság teljesül és a ${\displaystyle \angle A'O'B'}$ szög belső pontjai az ${\displaystyle a'}$ egyenes egy előre megadott oldalán fekszenek.
• Minden szög egybevágó saját magával, azaz tetszőleges ${\displaystyle \angle AOB}$ szögre ${\displaystyle \angle AOB\cong \angle AOB}$ teljesül.
• Ha az ${\displaystyle \angle AOB}$ szög egybevágó a ${\displaystyle \angle A'O'B'}$ szöggel is és az ${\displaystyle \angle A''O''B''}$ szöggel is, akkor a ${\displaystyle \angle A'O'B'}$ szög egybevágó az ${\displaystyle \angle A''O''B''}$ szöggel.
• Legyen ${\displaystyle ABC}$ és ${\displaystyle A'B'C'}$ két tetszőleges háromszög. Ha teljesülnek a ${\displaystyle AB\cong A'B'}$, ${\displaystyle AC\cong A'C'}$ és ${\displaystyle \angle BAC\cong \angle B'A'C'}$ egybevágóságok, akkor az ${\displaystyle \angle ABC\cong \angle A'B'C'}$ és ${\displaystyle \angle ACB\cong \angle A'C'B'}$ egybevágóságok is teljesülnek.

Története

Az egybevágóság fogalmát Euklidész Elemek című munkájában még az "egyenlő és hasonló" kifejezés írja körül.^[1] A geometria tanításának ez az euklideszi mű maradt az alapja egészen Hilbert Die Grundlagen der Geometrie című tanulmányának megjelenéséig. Hilbert az egybevágóságot már a geometria egyik alapfogalmaként kezeli, és ennek az alapfogalomnak a tulajdonságait az általa javasolt axiómarendszerben az úgynevezett egybevágósági axiómák írják le. Hilbert óta a geometria és ezen belül az euklideszi geometria több különböző axiómarendszerét is kidolgozták,^[2] ezekben már az egybevágóság nem feltétlenül alapfogalom, de ezekben az esetekben a Hilbert-féle egybevágósági axiómák természetesen levezethetőek az adott axiómarendszer axiómáiból.

Jegyzetek

Hivatkozások

• David Hilbert, 1980 (1899). The Foundations of Geometry, 2nd ed. Chicago: Open Court.

További információk

• The SSS
• The SSA
• Egybevágó szögek interaktív animációval
• Egybevágó szakaszok interaktív animációval