Az Eisenstein-egészek (Euler-egészek) az
alakú komplex számok, ahol a, b egész számok és
az „első” harmadik egységgyök.
Könnyen látható, hogy az összeadás és a kivonás nem vezet ki az Eisenstein-egészek köréből. A szorzás sem, mivel
. Az Eisenstein-egészek így
-val jelölt gyűrűt alkotnak.
Az Eisenstein-egészek algebrai egész számok, ezek a
számtestbe eső algebrai egészek.
Norma
Az
Eisenstein-egészhez hozzárendeljük az
normát. Ez mindig nemnegatív egész szám és csak
esetén 0. Továbbá multiplikatív, azaz
mindig teljesül.
Egységek, asszociáltak, Eisenstein-prímek
Hat Eisenstein-egész normája egy:
. Ezek az egységek, tehát azok az Eisenstein-egészek, amelyek minden Eisenstein-egész osztói. Ha két Eisenstein-egész egymást kölcsönösen osztja, akkor egység szorzóban térnek el, ezeket egymás asszociáltjainak nevezzük.
Eisenstein-prím és
. Ha p közönséges prím és
akkor Eisenstein-prím is. Ha p közönséges prím és
akkor
egy alkalmas
Eisenstein-prímre. Így például,
.
Egyértelmű prímfaktorizáció
Az Eisenstein-egészek körében igaz a maradékos osztás tétele, így
euklideszi gyűrű: ha
,
akkor létezik
és
, hogy
és
. Innen adódik, hogy
-ban igaz a számelmélet alaptétele is: a felbonthatatlan elemek (azon
nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy
esetén x vagy y asszociáltja
-nek) azonosak a prímelemekkel, azaz Eisenstein-prímekkel (azon
nemnulla, nemegység elemek, amelyekre igaz, hogy
esetén
vagy
teljesül) és minden 0-tól és egységtől különböző x felírható
alakban, ahol
prímelemek, továbbá, ha
egy másik felírás, akkor
és a tényezők úgy indexezhetők, hogy j=1,…,r-re
asszociáltja
-nek.
Lásd még
Források
Freud-Gyarmati: Számelmélet
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap