Gell-Mann-mátrixok

A Murray Gell-Mannról elnevezett Gell-Mann-mátrixok az SU(3) csoport generátorai ${\displaystyle 3\times 3}$-as mátrixok között. A nyolc mátrix a következőképp van definiálva:^[1]

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}}$

A Gell-Mann-mátrixok nyoma nulla, hermitikusak és páronként ortogonálisak:

${\displaystyle \mathrm {Tr} (\lambda _{k}\lambda _{l})=2\delta _{kl}.}$

A Gell-Mann-mátrixok felfoghatók a Pauli-mátrixok általánosításaként. Érdemes észrevenni, hogy ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{7}}$ valójában ${\displaystyle 2\times 2}$-es Pauli-mátrixok plusz egy nullákból álló sor és oszlop. Így ezeknek a mátrixoknak a sajátértékei a -1, a 0 és az 1. ${\displaystyle \lambda _{8}}$ sajátértékei ezzel szemben az ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ és a ${\displaystyle {\frac {-2}{\sqrt {3}}}}$. Továbbá, ${\displaystyle \lambda _{3}}$ and ${\displaystyle \lambda _{8}}$ mindketten diagonálisak, és

${\displaystyle \lambda _{3}^{2}+\lambda _{8}^{2}={\frac {4}{3}}I_{3}}$

ahol ${\displaystyle I_{3}}$ a ${\displaystyle 3\times 3}$-as egységmátrix. Érdekes még, hogy

${\displaystyle \lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}+\lambda _{4}^{2}+\lambda _{5}^{2}+\lambda _{6}^{2}+\lambda _{7}^{2}+\lambda _{8}^{2}={\frac {16}{3}}I_{3}.}$

A Gell-Mann-mátrixokat a kvarkok leírásánál és a kvantum-színdinamikában használják.

Források