Körosztási test

A körosztási testek a matematikában, azon belül az algebrai számelméletben a racionális számok testének egy egységgyökkel való bővítéseként előálló testek, azaz a ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ testek, ahol ${\displaystyle \zeta _{n}}$ egy primitív n-edik egységgyök. A körosztási testek a körosztási polinomok felbontási testeként állnak elő. Számos tulajdonságuk, például a diszkrimináns vagy az elágazási viselkedés explicit módszerekkel meghatározható.

A ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} }$ bővítés Galois, és a Galois-csoport izomorf a ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$csoporttal, speciálisan Abel-csoport. Ennek az állításnak a megfordítása is igaz: ez a Kronecker–Weber-tétel, ami kimondja, hogy a racionális számok bármely véges Galois-bővítése beágyazható egy körosztási testbe, ha a Galois-csoport Abel. Emiatt a körosztási testek a számtestek elméletének alapvető építőköveiként szolgálnak.

A körosztási testek vizsgálata vezetett az Ivaszava Kenkicsi által elindított Iwasawa-elmélet megalkotásához: ebben az egyes körosztási testek külön-külön való tanulmányozása helyett a ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p^{n}})}$ testeket egyidejűleg vizsgálják, ahol p egy rögzített prímszám, és n végigfut a pozitív egész számok halmazán.

A körosztási test elnevezés onnan ered, hogy a testet generáló n-edik egységgyökök a komplex számsíkon az egységkörön egy szabályos n-szög csúcsaiban helyezkednek el, így az egységkört n azonos hosszúságú ívre osztják. Szigorúan véve az előbbi állításnak csak úgy van értelme, ha rögzítünk egy ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})\hookrightarrow \mathbb {C} }$ (nem kanonikus) beágyazást.

Tulajdonságok

Legyen p egy prímszám és n egy pozitív egész. A ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p^{n}})}$ körosztási test diszkriminánsa^[1]

${\displaystyle d_{\mathbb {Q} (\zeta _{p^{n}})}={\begin{cases}-p^{p^{n-1}(pn-n-1)}{\text{ ha }}p\equiv 3{\bmod {4}}{\text{ vagy }}p^{n}=4\\+p^{p^{n-1}(pn-n-1)}{\text{ egyébként }}\end{cases}}}$

Ha p és q különböző prímszámok, akkor a ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p^{n}})}$ és ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{q^{m}})}$ testek diszjunktak ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ fölött.^[2] A két test kompozituma a ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p^{n}q^{m}})}$ test, és a diszkrimináns a diszkriminánsok szorzata. A fentiek következménye a következő általános formula: ha n egy pozitív egész, akkor

${\displaystyle d_{\mathbb {Q} (\zeta _{n})}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\prod _{p\mid n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}}$,

ahol ${\displaystyle \varphi (n)}$ az Euler-féle fí-függvény, a szorzat pedig végigfut az n összes prímosztóján.^[3] Mivel egy testbővítésben pontosan azok a prímek ágaznak el, amik osztják a relatív diszkriminánst, ebből következik, hogy a ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} }$ bővítésben pontosan az n-et osztó prímek ágaznak el.^[4]

Minden körosztási test CM-test, azaz teljesen imaginárius másodfokú bővítése egy teljesen valós testnek. Valóban, a ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ test maximális teljesen valós részteste ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})}$. A ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})}$ bővítés elágazik minden archimédeszi helyen, és ha n a p prímszám egy hatványa, akkor a p fölötti nemarkhimédeszi helyeken is; minden más prím nem elágazó.^[5]

A ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ test egészeinek gyűrűje ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$.^[6] A ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})}$ maximális teljesen valós résztest egészeinek gyűrűje ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}]}$.^[7]

Jegyzetek

Források

• ↑ Washington 1997: Lawrence C. Washington: Introduction to Cyclotomic Fields. (angolul) Second Edition. New York: Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-1-4612-7346-2  
• ↑ Zábrádi 2020: Zábrádi Gergely: Algebrai számelmélet jegyzet. (magyarul) 2020.