Középpontos négyzetszámok

A számelméletben középpontos négyzetszám minden olyan szám, amely egy középső pont körül négyzet alakú rétegekben elrendezett pontok számát adja.

Az első négy középpontos négyzetszám előállítását mutatja a következő ábra:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=5$		$C_{4,3}=13$		$C_{4,4}=25$

Viszony más nevezetes számokkal

Az n. középpontos négyzetszám az alábbi képlettel adódik.

C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.\,

Más szóval minden középpontos négyzetszám két egymást követő négyzetszám összege. Ezt szemlélteti az alábbi minta:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=1+4$		$C_{4,3}=4+9$		$C_{4,4}=9+16$

Ez a képlet megfogalmazható a következőképpen is:

C_{4,n}={(2n-1)^{2}+1 \over 2};

ezt illusztrálja az alábbi:


$C_{4,1}=(1+1)/2$		$C_{4,2}=(9+1)/2$		$C_{4,3}=(25+1)/2$		$C_{4,4}=(49+1)/2$

Mint minden középpontos sokszögszám, a középpontos négyzetszámok is kifejezhetőek háromszögszámok függvényeként:

C_{4,n}=1+4\,T_{n-1}\,

ahol T_n az n. háromszögszám:

T_{n}={n(n+1) \over 2}={n^{2}+n \over 2}={n+1 \choose 2}

Ez utóbbi tény egyszerűen belátható, elegendő kivenni a középső pontot, majd a maradék ábrát felosztani négy háromszögre az alábbiak szerint:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=1+4\times 1$		$C_{4,3}=1+4\times 3$		$C_{4,4}=1+4\times 6$

Tulajdonságok

Az első néhány középpontos négyzetszám a következő:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, … (A001844 sorozat az OEIS-ben)

Minden középpontos négyzetszám páratlan.

Minden középpontos négyzetszám és azok minden osztója néggyel osztva egyet ad maradékul.

Az 1 kivételével minden középpontos négyzetszám pitagoraszi számhármas legnagyobb tagja. Például: (3; 4; 5), (5; 12; 13)

Középpontos négyzetprímek

A középpontos négyzetprímek olyan középpontos négyzetszámok, amelyek prímszámok. Az első néhány középpontos négyzetprím a következő:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, … (A027862 sorozat az OEIS-ben)

Hivatkozások

U. Alfred, "n and n + 1 consecutive integers with equal sums of squares", Math. Mag., 35 (1962): 155 - 164.
T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag, (1976): 3.
A. H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers. New York: Dover (1964): 125
Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 41-42, 1996. ISBN 0-387-97993-X