Poszinomiális függvény

A poszinomiális függvények a polinomok általánosításai, ahol is minden valós kitevő megengedett. Geometrikus programok megadásához használják őket.

Definíció

Legyen R + + n := { ( x 1 , … , x n ) ∈ R n | x i > 0  ha  i = 1 , … , n } {\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{n}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,x_{i}>0{\text{ ha }}i=1,\dots ,n\}} , továbbá c k > 0 {\displaystyle c_{k}>0} minden k = 1 , … , N {\displaystyle k=1,\dots ,N} esetén. Ekkor az

f : R + + n → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{++}^{n}\to \mathbb {R} }
f ( x 1 , … , x n ) = ∑ k = 1 N c k x 1 a 1 , k ⋅ ⋯ ⋅ x n a n , k {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{N}c_{k}x_{1}^{a_{1,k}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{a_{n,k}}}

függvények poszinomiális függvények. A kitevők valósak, a i , j ∈ R {\displaystyle a_{i,j}\in \mathbb {R} } . Ha az összeg egyetlen tagból áll, akkor monomiális függvényről van szó.

Példák

Az

f ( x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 + x 2 2 , 3 x 1 x 2 {\displaystyle f(x_{1},x_{2})={\frac {{\sqrt {x_{1}}}x_{2}+x_{2}^{2{,}3}}{x_{1}x_{2}}}}

függvény poszinomiális, normálalakja

f ( x 1 , x 2 ) = x 1 − 0 , 5 + x 1 − 1 x 2 1 , 3 {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{-0{,}5}+x_{1}^{-1}x_{2}^{1{,}3}}

Az

f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 17 x 2 x 3 2 {\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {x_{1}^{17}x_{2}}{x_{3}^{\sqrt {2}}}}}

függvény monomiális, normálalakja

f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 17 x 2 x 3 − 2 {\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{17}x_{2}x_{3}^{-{\sqrt {2}}}}

Tulajdonságok

  • A poszinomiális függvények zártak szorzásra, összeadásra és skalárral való szorzásra.
  • A monoszinomiális függvények zártak szorzásra, osztásra és skalárral való szorzásra.
  • A poszinomiális függvények (konvex) kúpot alkotnak az R + + n → R {\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{n}\to \mathbb {R} } függvények terében. Ebben a monoszinomiális függvények részkúpot alkotnak.

Források

  • Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. (online)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Posynomialfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.