Schwarzschild-sugár

A Schwarzschild-sugár, más néven gravitációs sugár minden tömeggel rendelkező testre megállapítható távolságérték. Egy test Schwarzschild-sugara az ugyanannyi teljes energiájú, gömbszimmetrikus fekete lyuk eseményhorizontjának a sugara. Égitestek tömegének alternatív mértékegységeként is alkalmazható.

Nevét Karl Schwarzschild német fizikusról kapta, aki 1916-ban találta meg az Einstein-egyenletek első egzakt megoldását, a Schwarzschild megoldást. Az általa vizsgált téridő-geometriának van egy koordináta-szingularitása, amely egy gömbfelület, ennek a sugarát nem sokkal halála után róla nevezték el.

Kiszámítása:

${\displaystyle r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}}$

ahol

${\displaystyle r_{s}}$ a Schwarzschild-sugár

${\displaystyle G}$ a gravitációs állandó

${\displaystyle m}$ a test tömege

${\displaystyle c}$ a fénysebesség értéke vákuumban.

A 2G/c² közelítő értéke 1,48 × 10⁻²⁷ m/kg. Ha ezt ${\displaystyle S}$-sel jelöljük, akkor ${\displaystyle r_{s}}$ = ${\displaystyle m}$·${\displaystyle S}$ méter.

Példák a Naprendszerből

Égitest	${\displaystyle Gm\quad \left[{\frac {\mathrm {m} ^{3}}{\mathrm {s} ^{2}}}\right]}$	${\displaystyle r_{s}\quad \left[\mathrm {m} \right]}$
Nap	${\displaystyle 1{,}32712440018\cdot 10^{20}}$	${\displaystyle 2{,}9532500765\cdot 10^{3}}$
Merkúr	${\displaystyle 2{,}2032\cdot 10^{13}}$	${\displaystyle 4{,}9028\cdot 10^{-4}}$
Vénusz	${\displaystyle 3{,}24859\cdot 10^{14}}$	${\displaystyle 7{,}2291\cdot 10^{-3}}$
Föld	${\displaystyle 3{,}986004418\cdot 10^{14}}$	${\displaystyle 8{,}870056078\cdot 10^{-3}}$
Hold	${\displaystyle 4{,}902800582\cdot 10^{13}}$	${\displaystyle 1{,}091020268\cdot 10^{-4}}$
Mars	${\displaystyle 4{,}2828\cdot 10^{13}}$	${\displaystyle 9{,}5305\cdot 10^{-4}}$
Jupiter	${\displaystyle 1{,}26686534\cdot 10^{17}}$	${\displaystyle 2{,}81915558\,}$
Szaturnusz	${\displaystyle 3{,}7931187\cdot 10^{16}}$	${\displaystyle 0{,}84408275\,}$
Uránusz	${\displaystyle 5{,}793947\cdot 10^{15}}$	${\displaystyle 0{,}1289327\,}$
Neptunusz	${\displaystyle 6{,}836529\cdot 10^{15}}$	${\displaystyle 0{,}1521333\,}$

A definíció értelmében ha egy égitest sugara kisebb, mint az ő tömegéhez tartozó Schwarzschild-sugár, akkor az égitest felszíne a saját eseményhorizont-gömbjén belülre került, vagyis a felszínről való eltávolodáshoz már a fénysebesség is kevés, azaz az égitest egy fekete lyuk.

A táblázat szerint ehhez a Nap teljes tömegét kb. 3 kilométer sugarú gömbbé kellene összepréselni. Hogy a saját gravitációja ehhez közel sem elég, azt mutatja az, hogy a Nap gömbjének sugara jelenleg 700 ezer kilométer.

Ahhoz, hogy a Földet fekete lyukká változtassuk, kb. 9 mm sugarú, vagy annál kisebb golyóvá kellene a teljes tömegét összenyomni, a Jupiter esetében – melynek a tömege bolygónk 318-szorosa – ez a kritikus sugár kb. 2,8 m. Ezeknek a helyzeteknek a létrehozása persze jelen ismereteink szerint kivitelezhetetlen.

A számítás természetesen visszafelé is elvégezhető. Az itt látható fantáziarajzon a fekete gömb az annak közepén levő, ismeretlen méretű égitest által létrehozott eseményhorizont gömbje. Ha lehetőségünk volna a gömb sugarát megmérni, akkor megmondhatnánk az ehhez a Schwarzschild-sugárhoz tartozó tömeg, az ezt a fekete lyukat létrehozó égitest tömegének értékét. (Megjegyzendő, hogy ennek az értéknek a megállapítására más, nagy távolságból is alkalmazható lehetőségek is vannak.)^[1][2][3]

Hivatkozások

1. ↑ A fekete lyukak (Fizikai Szemle)
2. ↑ Megmérték a központi fekete lyuk tömegét (Index.hu)
3. ↑ Óriás fekete lyuk egy apró galaxisban (Origo.hu)

Irodalomjegyzék

• Hraskó Péter: Relativitáselmélet (Typotex, 2002) ISBN 963-9326-30-5, hibajegyzék
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet (Akadémiai, 2006) ISBN 9630584239
• Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie (Elsevier GmbH, München, 2006) ISBN 3-8274-1685-X, ISBN 978-3-8274-1685-8 (németül)
• Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit (Friedr. Vieweg & Sohn, Wiesbaden, 2008) ISBN 978-3-8348-0468-6 (németül)