Sommerfeld-azonosság

A Sommerfeld-azonosság egy matematikai azonosság, melyet Arnold Sommerfeld vezetett be a hullámterjedéssel kapcsolatban:

${\displaystyle {\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}}$

ahol

${\displaystyle \mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}}$

(${\displaystyle \mu }$-t pozitív valós résszel kell venni, hogy az integrál konvergens legyen és eltűnjön, amikor ${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$) és

${\displaystyle R^{2}=r^{2}+z^{2}}$.

Az R a távolságot jelenti a kezdeti értéktől (origó), ${\displaystyle r}$ a ${\displaystyle (r,\phi ,z)}$ hengerkoordináta-rendszer központi tengelyétől mért távolság. ${\displaystyle I_{0}}$ függvény egy Bessel-függvény. Itt a jelzésrendszer a német konvenciót követi, hogy konzisztens legyen ahhoz, amit Sommerfeld eredetileg használt. Az angol irodalomban a következő egyenlet használatos:

${\displaystyle I_{n}(\rho )=J_{n}(i\rho )}$.

Ezt az azonosságot nevezik Sommerfeld-azonosságnak.

Az azonosság alternatív formája:

${\displaystyle {\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}}$

ahol

${\displaystyle k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}}$

Itt a jelölés különbözik: ${\displaystyle r}$ az origótól számított távolságot jelenti, ${\displaystyle \rho }$ a tengelytől mért távolság a ${\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}$ hengerkoordináta-rendszerben.

A fizikai magyarázat a következő: egy gömbhullám hengeres hullámok összegeként terjed ${\displaystyle \rho }$ irányban, megszorozva a síkhullámmal ${\displaystyle z}$ irányba (lásd még a Jacobi–Anger-azonosságot). Az összegzést minden ${\displaystyle k_{\rho }}$ hullámértékre el kell végezni.

Irodalom

• Sommerfeld A: Partial Differential Equations in Physics. (hely nélkül): Academic Press,New York. 1964.  
• Chew, W.C: Waves and Fields in Inhomogenous Media. (hely nélkül): Van Nostrand Reinhold,New York. 1990.