Szórás (valószínűségszámítás)

A „szórás” lehetséges további jelentéseiről lásd: Szórás (egyértelműsítő lap).

A szórás a valószínűségszámításban az eloszlásokat jellemző szóródási mérőszám. A szórás egy valószínűségi változó értékeinek a várható értéktől való eltérésének a mértéke.

Az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó szórását az

képlet adja meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol ${\displaystyle \mathbf {E} }$ a várható értéket jelöli.

Az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó szórásának jelölésére a szakirodalomban a következő konvenciók léteznek:

A szórás négyzetét olyan gyakran használják a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában, hogy önálló fogalomként, mint szórásnégyzet vagy variancia is szoktak rá utalni.

Az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó szórásnégyzete az ${\displaystyle X}$ második centrális momentuma.

A szórás néhány fontosabb tulajdonsága

• Az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változónak pontosan akkor létezik szórása, ha ${\displaystyle X^{2}}$-nek létezik várható értéke, s ebben az esetben

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (X)&={\sqrt {\mathbf {D} ^{2}(X)}}={\sqrt {\mathbf {V} (X)}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} \left((X-\mathbf {E} (X))^{2}\right)}}={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2}-2X\mathbf {E} (X)+\mathbf {E} ^{2}(X))}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-2\mathbf {E} (X)\mathbf {E} (X)+\mathbf {E} ^{2}(X)}}={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-2\mathbf {E} ^{2}(X)+\mathbf {E} ^{2}(X)}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-\mathbf {E} ^{2}(X)}}\end{aligned}}}$

• Tetszőleges ${\displaystyle a,b\in \mathbf {R} }$ esetén

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (aX)&={\sqrt {\mathbf {V} (aX)}}={\sqrt {\mathbf {E} \left((aX)^{2}\right)-\mathbf {E} ^{2}(aX)}}={\sqrt {\mathbf {E} (a^{2}X^{2})-\left(\mathbf {E} (aX)\right)^{2}}}=\\&={\sqrt {a^{2}\mathbf {E} (X^{2})-\left(a\mathbf {E} (X)\right)^{2}}}={\sqrt {a^{2}\mathbf {E} (X^{2})-a^{2}\mathbf {E} ^{2}(X)}}=\\&={\sqrt {a^{2}\left(\mathbf {E} (X^{2})-\mathbf {E} ^{2}(X)\right)}}={\sqrt {a^{2}\mathbf {V} (X)}}=\\&=\vert a\vert \mathbf {D} (X),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} (X+b)&={\sqrt {\mathbf {V} (X+b)}}={\sqrt {\mathbf {E} \left((X+b)^{2}\right)-\left(\mathbf {E} (X+b)\right)^{2}}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2}+2bX+b^{2})-\left(\mathbf {E} (X)+b\right)^{2}}}={\sqrt {\left(\mathbf {E} (X^{2})+2b\mathbf {E} (X)+b^{2}\right)-\left(\mathbf {E} ^{2}(X)+2b\mathbf {E} (X)+b^{2}\right)}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})+2b\mathbf {E} (X)+b^{2}-\mathbf {E} ^{2}(X)-2b\mathbf {E} (X)-b^{2}}}=\\&={\sqrt {\mathbf {E} (X^{2})-\mathbf {E} ^{2}(X)}}=\\&=\mathbf {D} (X).\end{aligned}}}$

• Az ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó szórása pontosan akkor 0, ha ${\displaystyle X}$ konstans, azaz

${\displaystyle \mathbf {D} (X)=0\Leftrightarrow X=c}$.

• Ha ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ véges szórású korrelálatlan valószínűségi változók, azaz ${\displaystyle \operatorname {corr} (X,Y)=0}$, akkor

${\displaystyle \mathbf {D} (X+Y)={\sqrt {\mathbf {D} ^{2}(X)+\mathbf {D} ^{2}(Y)}}.}$

Azt látjuk tehát, hogy (korrelálatlan, véges szórású valószínűségi változók esetén) nem a szórás, hanem a szórásnégyzet viselkedik lineárisan.

Kapcsolódó témák

• Statisztikai szignifikancia

Források

• Bognár Jánosné, Mogyoródi József, Prékopa András, Rényi Alfréd, Szász Domokos (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény Typotex Kiadó, Budapest.

• Baran Sándor, Fazekas István, Glevitzky Béla, Iglói Endre, Ispány Márton, Kalmár István, Nagy Márta, Tar László, Verdes Emese (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Medgyessy Pál – Takács Lajos (1973): Valószínűségszámítás Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michelberger Pál, Szeidl László, Várlaki Péter (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis Typotex Kiadó, Budapest.