Töröttvonalfüggvény

A matematikában töröttvonalfüggvénynek nevezünk f[a,b]→${\displaystyle \mathbb {R} }$ függvényeket, ha van olyan ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b}$ felosztás, hogy f mindegyik [x_i-1,x_i] intervallumban lineáris, azaz m·x+c alakú.

Töröttvonalfüggvény közelítése

Bármely töröttvonalfüggvény egyenletesen megközelíthető polinomokkal. Legyen ugyanis az f töröttvonalfüggvény meredeksége az [x_i-1,x_i] intervallumban m_i, és tekintsük a

${\displaystyle \Phi _{i}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}x\leq x_{i-1},\\(m_{i}-m_{i-1})\cdot (x-x_{i-1}),&{\mbox{ha }}x\geq x_{i-1}\end{cases}}}$

függvényeket (i=1,...,n), ahol m₀=0. Ekkor a

${\displaystyle \Phi =\sum _{i=1}^{n}\Phi _{i}}$

függvény olyan töröttvonalfüggvény, amelynek a meredeksége az [x_i-1,x_i] intervallumban m_i minden i=1,...n-re. Ebből egyszerűen adódik, hogy

${\displaystyle f=\Phi +f\left(a\right)}$.

Most belátjuk, hogy mindegyik Φ_i függvény egyenletesen megközelíthető polinomokkal az [a,b] intervallumban. Legyen i rögzített, és vezessük be az x_i-1=c és m=(m_i-m_i-1/2) jelölést. Ekkor

${\displaystyle \Phi _{i}(x)=m\cdot \left(|x-c|+\left(x-c\right)\right)}$

minden x-re. Válasszunk egy olyan r számot, amelyre c-r<a<b<c+r. Az előző példa szerint minden ε>0-hoz létezik olyan p polinom, hogy |p(x)-|x||<ε minden x∈[-1,1]-re. Ekkor a

${\displaystyle q_{i}(x)=mr\cdot p\left({\frac {x-c}{r}}\right)+m\cdot (x-c)}$

polinomra teljesül, hogy

${\displaystyle |q_{i}(x)-\Phi _{i}(x)|<|m|r\cdot \varepsilon }$

minden x∈[c-r,c+r]-re, tehát minden x∈[a,b]-re is. Így a

${\displaystyle q=f(a)+\sum _{i=1}^{n}q_{i}}$

polinom rendelkezik a tulajdonsággal, hogy

${\displaystyle |q(x)-f(x)|<K\cdot \varepsilon }$

minden x∈[a,b]-re, ahol K konstans nem függ ε-tól.

Források

Laczkovich Miklós-T. Sós Vera: Analízis II. ISBN 978-963-19-6084-6