Funzione definita a tratti

Niente fonti!
Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

In matematica una funzione definita a tratti (o semplicemente funzione a tratti) è una funzione definita da varie sottofunzioni, ciascuna delle quali è definita su un certo sottodominio, cioè su un sottoinsieme del dominio della funzione definita a tratti.[1][2] Questi sottodomini formano una partizione del dominio della funzione definita a tratti.

Notazione

Una funzione definita a tratti tipica è la funzione valore assoluto. La notazione standard è la seguente:[2]

| x | = { − x , se  x < 0 , x , se  x ≥ 0. {\displaystyle |x|={\begin{cases}-x,&{\text{se }}x<0,\\x,&{\text{se }}x\geq 0.\end{cases}}}

La funzione è definita dalle sottofunzioni − x {\displaystyle -x} e x {\displaystyle x} , valide rispettivamente negli intervalli ( − ∞ , 0 ) {\displaystyle (-\infty ,0)} e [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} .

Continuità

Una funzione a tratti composta da funzioni quadratiche diverse ai due lati del punto x 0 {\displaystyle x_{0}}

Una funzione definita a tratti è continua su un dato intervallo se rispetta le seguenti condizioni:

  • la funzione è definita su tutto l'intervallo;
  • le sottofunzioni sono continue nei sottodomini;
  • non ci sono discontinuità nella frontiera di ciascun sottodominio.

La funzione in figura, ad esempio, è continua nei sottointervalli ( − ∞ , x 0 ) {\displaystyle (-\infty ,x_{0})} e [ x 0 , + ∞ ) {\displaystyle [x_{0},+\infty )} in cui è definita a tratti, ma non è continua nell'intero dominio, dato che contiene un punto di discontinuità a salto: il punto x 0 {\displaystyle x_{0}} .

Esempi

Le seguenti funzioni sono definite a tratti:

  • funzioni a gradino, funzioni definite da sottofunzioni costanti;
  • funzioni lineari a tratti, definite da sottofunzioni lineari;
    • valore assoluto;
  • funzione spline, funzione costituita da un insieme di polinomi raccordati tra loro, il cui scopo è interpolare in un intervallo un insieme di punti, in modo tale che la funzione sia continua almeno fino ad un dato ordine di derivate in ogni punto dell'intervallo.

Note

  1. ^ Manuela Pucci, Funzioni definite a tratti (PDF), su cupparisalvati.edu.it. URL consultato il 18 novembre 2022 (archiviato dall'url originale il 18 novembre 2022).
  2. ^ a b (EN) Eric W. Weisstein, Funzione definita a tratti, in MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Funzione definita a tratti, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica