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Il lemma della farfalla è un risultato utilizzato nell'algebra.
Siano
e
due sottogruppi di un gruppo
, siano
e
sottogruppi normali di
e
rispettivamente, allora:
è normale in ![{\displaystyle H(U\cap V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2060d1c9e4b5e2bc8c02a116e86a25ccbfe323)
è normale in ![{\displaystyle (U\cap V)K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e5c6d4ff4f0f1bbc0bff136601c47ab277b963)
I gruppi quozienti inoltre risultano isomorfi:
![{\displaystyle H(U\cap V)/H(U\cap K)\cong (U\cap V)K/(H\cap V)K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c683e512fd18df0a2a94b41a857d327665775d)
Dimostrazione
Una possibile dimostrazione del Lemma è:
Si verifica che
è normale in
.
Si può osservare che
è normale in
, infatti
e
si ha:
.
Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che
ė normale in
.
Si verifica che
è normale in
.
Si può osservare che
è normale in
. Infatti,
e
, si ha:
Poiché ogni gruppo ė normale in sé si ha che
è normale in
.
La combinazione di gruppi e gruppi quoziente diventa chiara quando la visualizziamo nel diagramma di sottogruppi che dà il nome al Lemma:
Nel diagramma sono dati
tutti gli altri punti del diagramma corrispondono a certi gruppi che si possono determinare nel modo seguente:
• L'intersezione di due segmenti che vanno verso il basso corrispondono all'intersezione di gruppi;
• L'intersezione di due linee che vanno verso l'alto corrisponde al prodotto.
Consideriamo i due parallelogrammi che formano le ali della farfalla, otteniamo l'isomorfismo dei gruppi quoziente come segue:
Infatti il lato in comune ai due parallelogrammi ha come punto iniziale
,
e come punto finale
. Si ha l'isomorfismo:
Applicando il teorema di isomorfismo:
,
Con
e
.
Questo dà l'isomorfismo di sinistra.
L'isomorfismo di destra si ottiene per simmetria.
Da cui
.
Q.E.D.
Bibliografia
- J. Lambek Pierce, The Butterfly and the Serpent, 1996, p. 27, exercise 1
- Aldo Ursini, Paulo Agliano, Logic and Algebra, CRC Press, pp. 161–180. ISBN 978-0-8247-9606-8.
- Carl Clifton Faith, Nguyen Viet Dung, Barbara Osofsky, Rings, Modules and Representations, AMS Bookstore, 2009, p. 6 ISBN 0-8218-4370-2
- Hans Zassenhaus, Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 1934
- Hans Zassenhaus, Theory of Groups, second English edition, Lemma on Four Elements, Chelsea Publishing, 1958, p. 74
Voci correlate
Algebra lineare
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