Parte positiva e parte negativa di una funzione

In matematica, per ogni funzione reale si possono definire due funzioni "componenti", dette parte positiva e parte negativa della funzione, date rispettivamente da

f^{+}(x)=\max\{f(x),0\}={\begin{cases}f(x)&{\mbox{ se }}f(x)>0\\0&{\mbox{ altrimenti}}\end{cases}}

f^{-}(x)=\max\{-f(x),0\}=-\min\{f(x),0\}={\begin{cases}-f(x)&{\mbox{ se }}f(x)<0\\0&{\mbox{ altrimenti}}\end{cases}}

Intuitivamente, il grafico per esempio della parte positiva è ottenuto troncando il grafico di $f$ quando esso passa sotto l'asse delle ascisse, ponendolo a 0 in quei punti e lasciando inalterato il resto.

Una peculiarità della definizione è che la "parte negativa" non è negativa, anzi, è ovunque positiva o al più nulla. La scomposizione di una funzione qualsiasi in due funzioni sempre non negative si rivela utile in determinati casi.

Relazioni con la funzione originaria

Le parti positiva e negativa sono legati alla funzione originaria tramite queste due relazioni:

f=f^{+}-f^{-}\,

|f|=f^{+}+f^{-}

Usando queste due uguaglianze si possono esprimere $f^{+}$ e $f^{-}$ in un altro modo

f^{+}={\frac {|f|+f}{2}}

f^{-}={\frac {|f|-f}{2}}.

Uso in teoria della misura

Una funzione definita su uno spazio misurabile è misurabile se e solo se lo sono la sua parte positiva e la sua parte negativa. Se dunque $f$ è misurabile, lo è anche il suo valore assoluto, essendo la somma di funzioni misurabili per la relazione precedente. Il viceversa non è in generale vero: se ad esempio

f=1_{V}-{1 \over 2}

dove $V$ è un insieme di Vitali e 1_V è la funzione indicatrice dell'insieme V, allora $f$ non è misurabile (poiché non lo è $V$ ), ma il suo valore assoluto sì perché è costantemente uguale a ¹⁄₂.