Piano (geometria)

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Rappresentazione di due piani che si intersecano

Il piano è un concetto primitivo della geometria, ossia un concetto per il quale non esiste una definizione formale e che si suppone intuitivamente comprensibile e/o esperienzialmente acquisito, pertanto un'idea universalmente accettata e unica rappresentabile con oggetti concreti che fungono da esempio ma che per la loro sussistenza stessa non risolvono pienamente il concetto (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta).

Nel caso del piano si pensi, per rappresentarlo idealmente, a un foglio di carta di dimensioni infinite: il piano è l'idea, il concetto astratto, ma non è il foglio di carta sia perché questo ha uno spessore e un piano ideale non ne ha e sia perché non è possibile produrre o ritrovare un foglio di carta di dimensioni infinite.

In definitiva, esso:

  • Inteso come luogo geometrico di punti, ha un'estensione superficiale: il piano, nello spazio tridimensionale, è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti applicati nel medesimo punto P {\displaystyle P} .
  • Dal punto di vista della geometria differenziale il piano è quella superficie che ha entrambe le curvature fondamentali nulle.

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

Piani nello spazio tridimensionale

L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} è del tipo:

a x + b y + c z + d = 0 , {\displaystyle ax+by+cz+d=0,}

con a , b , c , d R , {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} ,} e a , b , c {\displaystyle a,b,c} non tutti nulli.

Equazione cartesiana

Piano passante per tre punti

Siano P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , P 3 = ( x 3 , y 3 , z 3 ) {\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})} tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno e un solo piano π {\displaystyle \pi } . Un punto P = ( x , y , z ) {\displaystyle P=(x,y,z)} appartiene al piano π {\displaystyle \pi } solo se il vettore P P 1 {\displaystyle P-P_{1}} è combinazione lineare dei vettori P 2 P 1 {\displaystyle P_{2}-P_{1}} e P 3 P 1 {\displaystyle P_{3}-P_{1}} , ossia se

| x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 | = 0. {\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0.}

Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:

a ( x x 1 ) + b ( y y 1 ) + c ( z z 1 ) = 0 , {\displaystyle a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0,}

dove

a = | y 2 y 1 z 2 z 1 y 3 y 1 z 3 z 1 | , b = | x 2 x 1 z 2 z 1 x 3 x 1 z 3 z 1 | , c = | x 2 x 1 y 2 y 1 x 3 x 1 y 3 y 1 | . {\displaystyle a={\begin{vmatrix}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;b=-{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;c={\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{vmatrix}}.}

Infine, per ottenere l'equazione canonica del piano, si definisce d {\displaystyle \;d\;} come segue:

d = ( a x 0 + b y 0 + c z 0 ) , {\displaystyle d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),}

dove P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})} è un punto che appartiene al piano, pertanto in questo caso si possono utilizzare le coordinate di un punto qualsiasi fra P 1 {\displaystyle P_{1}} , P 2 {\displaystyle P_{2}} e P 3 {\displaystyle P_{3}} .

Posizioni reciproche di due piani

Piani paralleli

Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 2, il sistema è compatibile e risulta ammettere una semplice infinità ( 1 {\displaystyle \infty ^{1}} ) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani. Quando sia la matrice dei coefficienti che la matrice completa hanno rango 1, le soluzioni ammesse sono una doppia infinità ( 2 {\displaystyle \infty ^{2}} ) e i piani risultano essere paralleli e coincidenti (parallelismo improprio). Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 1 e la matrice completa ha rango 2, il sistema risulta essere incompatibile e i piani sono paralleli e distinti (parallelismo proprio).

Distanza di un punto da un piano

È possibile calcolare la distanza di un punto P = ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle P=(x_{0},y_{0},z_{0})} da un piano π {\displaystyle \pi } utilizzando la seguente formula:

d ( π , P ) = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2 . {\displaystyle d(\pi ,P)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}

In particolare, se d ( π , P ) = 0 {\displaystyle d(\pi ,P)=0} , allora il punto P {\displaystyle P} appartiene al piano π {\displaystyle \pi } .

Voci correlate

  • Problemi di misura (geometria descrittiva)
  • Superficie (matematica)
  • Spazio affine
  • Fascio di piani
  • Piano proiettivo

Altri progetti

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Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Piano, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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