Teorema della media integrale

In matematica, il teorema della media integrale è un teorema che mette in relazione le nozioni di integrale e di funzione continua per le funzioni di una variabile reale. Una funzione continua definita su un intervallo ha come immagine ancora un intervallo: il teorema della media integrale stabilisce che la media integrale della funzione sia un valore incluso nell'intervallo immagine.

Il teorema

Il concetto di media integrale è una generalizzazione dell'idea di media aritmetica. L'idea è quella di calcolare il valore medio assunto da una funzione ${\displaystyle f}$ su un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ (in cui ${\displaystyle f}$ è continua) calcolando la media aritmetica dei valori che la funzione assume su un insieme finito (molto grande) di ${\displaystyle N+1}$ punti distribuiti uniformemente nell'intervallo, cioè si suddivide l'intervallo in ${\displaystyle N}$ sottointervalli ${\displaystyle [x_{k},x_{k+1}],}$ con ${\displaystyle k=0,\ldots ,N,}$ tutti di lunghezza ${\displaystyle (b-a)/N}$ e si calcola la media:

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(x_{i})={\frac {1}{b-a}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {b-a}{N}}f(x_{i}).}$

Dalla definizione di integrale di Riemann segue che considerando quantità ${\displaystyle N}$ sempre maggiori di punti questa espressione converge al valore:

${\displaystyle {{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

che viene chiamato media integrale di ${\displaystyle f}$.

Il teorema afferma che se ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ è continua (quindi integrabile) allora esiste ${\displaystyle c\in [a,b]}$ tale che:

${\displaystyle {{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c).}$

In modo equivalente:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(c).}$

Dimostrazione

Essendo ${\displaystyle f}$ continua in ${\displaystyle [a,b]}$, per il teorema di Weierstrass essa è dotata di massimo ${\displaystyle M}$ e di minimo ${\displaystyle m}$ su ${\displaystyle [a,b]}$, quindi si ha:

${\displaystyle m\leq f(x)\leq M.}$

Dalla proprietà di monotonia dell'integrale risulta:

${\displaystyle \int _{a}^{b}m\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}M\,dx.}$

Nei membri a destra e a sinistra della disuguaglianza si sta integrando una funzione costante, quindi si ha:

${\displaystyle \int _{a}^{b}m\,dx=m\int _{a}^{b}\,dx=m(b-a)}$

e analogamente:

${\displaystyle \int _{a}^{b}M\,dx=M\int _{a}^{b}\,dx=M(b-a).}$

Si ottiene quindi:

${\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a),}$

ovvero, se ${\displaystyle b>a}$:

${\displaystyle m\leq {{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M.}$

Per il teorema dei valori intermedi ${\displaystyle f}$ deve assumere in ${\displaystyle [a,b]}$ tutti i valori compresi tra:

${\displaystyle \sup _{[a,b]}f=M{\mbox{ e }}\inf _{[a,b]}f=m,}$

quindi, in particolare, esiste un ${\displaystyle c\in [a,b]}$ tale che:

${\displaystyle f(c)={{1} \over {b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx.}$

Bibliografia

• Enrico Giusti, Analisi matematica 1, 3ª ed., Bollati Boringhieri, 2002, ISBN 88-339-5684-9.

Voci correlate

• Derivata
• Funzione continua
• Integrale
• Media (statistica)
• Teorema della media pesata
• Teorema dei valori intermedi
• Teorema di Weierstrass

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