Teorema di Euclide-Eulero

In matematica, il teorema di Euclide–Eulero è un teorema che mette in relazione i numeri perfetti ai primi di Mersenne. Il teorema afferma che ogni numero perfetto pari è della forma $2^{n-1}(2^{n}-1)$ , dove $2^{n}-1$ è un numero primo, detto anche primo di Mersenne.

Si congettura che esistano infiniti primi di Mersenne. Sebbene la validità della congettura rimanga ignota, è equivalente, per il teorema di Euclide-Eulero, ad affermare l'esistenza di infiniti numeri perfetti pari. Tuttavia non si è nemmeno a conoscenza se esista un numero perfetto dispari.^[1]

Enunciato

Un numero perfetto è un numero naturale che è uguale alla somma dei suoi divisori propri, cioè escluso se stesso. Un primo di Mersenne è un numero primo della forma $M_{p}=2^{p}-1$ , dove $p$ deve essere anch'esso primo.

Il teorema di Euclide-Eulero afferma che un numero pari è perfetto se e solo se è della forma $2^{p-1}M_{p}$ , dove $M_{p}$ è un primo di Mersenne.^[1]

Storia

Euclide dimostrò che $2^{p-1}(2^{p}-1)$ è numero perfetto pari ogni volta che $2^{p}-1$ è primo (Euclide, Prop. IX.36). Questo è il risultato finale della teoria dei numeri nei suoi Elementi, al contrario dei successivi libri in cui Euclide tratta i numeri irrazionali, la geometria solida e il rapporto aureo. Euclide espresse il suo risultato affermando che se una serie geometrica finita con valore iniziale 1 e ragione 2 ha come somma un numero primo $P$ , allora $P$ moltiplicato per l'ultimo termine $T$ della serie è un numero perfetto. In altre parole, la somma $P$ della serie finita è il numero primo di Mersenne $2^{p}-1$ , mentre l'ultimo termine $T$ è la potenza $2^{p-1}$ . Euclide dimostrò che $PT$ è perfetto osservando che la serie geometrica con ragione 2 e inizio in P, con lo stesso numero di termini, è proporzionale alla prima somma; pertanto, dato che la serie originale ha somma $P=2T-1$ , la seconda serie vale $P(2T-1)=2PT-P$ e quindi la loro somma è uguale a $2PT$ , il doppio dell'ipotetico numero perfetto. Tuttavia, le due serie sono disgiunte una dall'altra e, per la primalità di $P$ , esauriscono tutti i divisori di $PT$ . Perciò i divisori di $PT$ hanno somma uguale a $2PT$ , che è la definizione di numero perfetto.^[2]

Oltre un millennio dopo Euclide, Alhazen (c. 1000 DC) congetturò che ogni numero perfetto pari è della forma $2^{p-1}(2^{p}-1)$ con $2^{p}-1$ primo, ma non fu mai in grado di dimostrarlo.^[3]

Solo nel XVIII secolo, Eulero riuscì a dimostrare che la formula $2^{p-1}(2^{p}-1)$ produce tutti i numeri perfetti pari.^[1]^[4] In altre parole, esiste una relazione biunivoca tra i numeri perfetti pari e i primi di Mersenne.

Dimostrazione

La dimostrazione di Eulero è corta^[1] e dipende dal fatto che la funzione sigma è una funzione moltiplicativa, cioè se $a$ e $b$ sono due interi relativamente primi, allora $\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)$ . Per fare questo, la somma dei divisori di un numero deve includere anche il numero stesso, non solo i divisori propri. Un numero $n$ è perfetto se e solo se $\sigma (n)=2n$ .

Una direzione del teorema (la parte già dimostrata da Euclide) segue immediatamente dalla proprietà moltiplicativa: ogni primo di Mersenne dà origine a un numero perfetto pari. Quando $2^{p}-1$ è primo, $\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)$ . La somma dei divisori di $2^{p-1}$ è uguale a $2^{p}-1$ , mentre la primalità di $2^{p}-1$ implica che $\sigma (2^{p}-1)=2^{p}$ , dato che i suoi unici divisori sono 1 e se stesso. Sostituendo quanto trovato, si ricava che

\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)=(2^{p}-1)2^{p}=2(2^{p-1}(2^{p}-1)).

Pertanto, $2^{p-1}(2^{p}-1)$ è un numero perfetto.^[5]^[6]^[7]

Per l'altra implicazione del teorema, sia $n$ un numero perfetto pari, parzialmente fattorizzato come $2^{k}x$ , con $x$ dispari. Se $n$ è perfetto, si deve avere che

2^{k+1}x=\sigma (2^{k}x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x).

Il numero $2^{k+1}-1$ è almeno 3 e deve dividere o eguagliare $x$ , l'unico fattore dispari al membro sinistro, quindi $y=x/(2^{k+1}-1)$ è un divisore proprio di $x$ . Dividendo entrambi i membri dell'equazione per il fattore comune $2^{k+1}-1$ si ottiene

2^{k+1}y=\sigma (x)=x+y+{\text{altri divisori}}=2^{k+1}y+{\text{altri divisori}}.

Per fare in modo che l'uguaglianza sia verificata, non ci devono essere altri divisori. Di conseguenza, $y$ deve essere 1, e $x$ deve essere un primo della forma $2^{k+1}-1$ .^[5]^[6]^[7]

Note

^ ^a ^b ^c ^d John Stillwell, Mathematics and Its History, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2010, p. 40, ISBN 978-1-4419-6052-8..
^ Euclid, The Thirteen Books of The Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III–IX), 2nd, Dover, 1956, pp. 421–426..
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", MacTutor History of Mathematics archive, Università di St. Andrews.
^ (LA) Leonhard Euler, De numeris amicibilibus [On amicable numbers], in Commentationes arithmeticae, vol. 2, 1849, pp. 627–636.. Vedere in particolare la sezione 8, p. 88.
^ ^a ^b Larry Gerstein, Introduction to Mathematical Structures and Proofs, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2012, Theorem 6.94, p. 339, ISBN 978-1-4614-4265-3..
^ ^a ^b Chris K. Caldwell, A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime, su Prime Pages. URL consultato il 2 dicembre 2014..
^ ^a ^b Giancarlo Travaglini, Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy, London Mathematical Society Student Texts, vol. 81, Cambridge University Press, 2014, pp. 26–27, ISBN 978-1-107-04403-6..