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Per rototraslazione e variazione di scala nel piano intendiamo un cambiamento di coordinate cartesiane da un sistema di riferimento ad un altro con alterazione delle unità di misura e quindi di scala. Tutto ciò è possibile grazie ad una trasformazione lineare composta da una traslazione e da una rotazione, accompagnate da un fattore di riduzione o ingrandimento. Questo problema prende il nome di trasformazione di Helmert a sette parametri, ed è individuato dall'espressione:
dove i parametri da determinare sono tre per la rotazione, tre per la traslazione ed uno per le unità di misura.
In particolare: R è la matrice di rotazione rispetto ai tre assi (matrice 3x3),
è il vettore di traslazione (3 componenti) e
è il fattore di scala, mentre
e
rappresentano rispettivamente le coordinate dei punti prima e dopo la trasformazione.
Per comodità consideriamo uno spazio di lavoro bidimensionale, quindi la matrice R sarà una 2x2 e dipenderà da un solo parametro, 𝛼, che individua l’angolo di rotazione e
diventerà un vettore a due componenti (
e
).
è della forma:
A questo punto si vuole stimare i valori dei parametri
,
,
,
che governano la trasformazione tramite il metodo dei minimi quadrati. Prima è però necessario svolgere un processo di linearizzazione del sistema rispetto ai parametri
e
, ponendo
,
e
. Si ottiene:
Dunque, conoscendo le coordinate
e
di un certo numero di punti (più sono minore sarà l’errore) e utilizzando queste supposizioni/semplificazioni:
- le coordinate
note senza errori; - le coordinate
incorrelate e con medesima varianza; - utilizzo delle coordinate baricentriche;
la trasformazione diventa:
Calcolo delle coordinate baricentriche
In prima battuta si calcolano le coordinate del baricentro dei punti nei due sistemi di riferimento:
Successivamente si calcolano le coordinate baricentriche di tutti gli N punti relativamente al loro baricentro:
È possibile ora modificare la prima equazione mediante l’utilizzo delle coordinate baricentriche:
la quale, ponendo
risulta:
A questo punto il problema può essere ricondotto ad un’equazione matriciale del tipo:
Esplicitando per ogni punto e ricordando il precedente cambio di variabile otteniamo:
ovvero:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\vec {W}}_{1x}'\\{\vec {W}}_{1y}'\\...\\{\vec {W}}_{px}'\\{\vec {W}}_{py}'\\...\\{\vec {W}}_{Nx}'\\{\vec {W}}_{Ny}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\vec {W}}_{1x}&-{\vec {W}}_{1y}&1&0\\{\vec {W}}_{1y}&{\vec {W}}_{1x}&0&1\\...\\{\vec {W}}_{px}&-{\vec {W}}_{py}&1&0\\{\vec {W}}_{py}&{\vec {W}}_{px}&0&1\\...\\{\vec {W}}_{Nx}&-{\vec {W}}_{Ny}&1&0\\{\vec {W}}_{1y}&{\vec {W}}_{1x}&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4456b3bb833bb81e667af1f800743e38b44b3e0c)
dove
rappresenta il vettore contenente i termini noti,
la matrice dei coefficienti e
il vettore dei parametri da stimare.
Stima dei parametri
Per la risoluzione del sistema è conveniente normalizzarlo, moltiplicando ambo i membri per la trasposta di
(
) :
Allora, definendo con
la matrice normale, i prodotti
e
risultano essere:
con :
La matrice normale è diagonale in quanto le coordinate baricentriche hanno media nulla; le componenti
e
sono pari a zero per il medesimo motivo.
Per la stima dei parametri non ci resta che determinare il sistema. Si ottengono le seguenti relazioni:
Grazie a queste è possibile stimare i parametri
e
:
mentre una stima del vettore traslazione è
Calcolo degli scarti e delle varianza
Definiamo gli scarti come differenza tra il valore reale e quello stimato:
Per calcolare la varianza a posteriori si usa la formula:
con r = (numero di misure) - (numero parametri).