リースポテンシャル

数学におけるリースポテンシャル（英: Riesz potential）とは、その発見者であるハンガリーの数学者マルツェル・リースの名にちなむ、あるポテンシャルのことを言う。リースポテンシャルは、ユークリッド空間上のラプラス作用素の冪に対する逆を、ある意味において定義するものである。一変数のリーマン＝リウヴィル積分（英語版）は複数変数へと一般化される。

0 < α < n であるとき、Rn 上の局所可積分函数 f のリースポテンシャル Iαf は、次式で定義される。

( I α f ) ( x ) = 1 c α ∫ R n f ( y ) | x − y | n − α d y . {\displaystyle (I_{\alpha }f)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int _{{\mathbb {R} }^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\,\mathrm {d} y.}
(1)

ただしこの定数は次で与えられる。

c α = π n / 2 2 α Γ ( α / 2 ) Γ ( ( n − α ) / 2 ) . {\displaystyle c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.}

この特異積分（英語版）は、f が無限大において十分急速に減衰する場合、well-defined となる。特に 1 ≤ p < n/α に対して f ∈ Lp(Rn)であるときに、well-defined となる。p > 1 であるなら、f の減衰率と Iαf の減衰率は不等式（ハーディ＝リトルウッド=ソボレフ不等式（英語版））

‖ I α f ‖ p ∗ ≤ C p ‖ f ‖ p , p ∗ = n p n − α p {\displaystyle \|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|f\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}}}

によって関連付けられる。より一般に作用素 Iα は、0 < Re α < n を満たす複素数 α に対して well-defined である。

リースポテンシャルは、次の畳み込みとして、より一般に弱い意味で定義することが出来る：

I α f = f ∗ K α . {\displaystyle I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }.\,}

ここで Kα は局所可積分函数

K α ( x ) = 1 c α 1 | x | n − α {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}}

である。したがってリースポテンシャルは、f がコンパクトな台を持つ超函数である時はいつでも定義される。この点に関し、コンパクトな台を持つある正のボレル測度 μ のリースポテンシャルは、Iαμ がその μ の台を除く（連続な）劣調和函数であり、Rn 全体で下半連続であることから、ポテンシャル論における主要な興味を集めるものとなっている。

フーリエ変換を考えることで、リースポテンシャルはフーリエ乗数（英語版）であることが分かる。実際、

K α ^ ( ξ ) = | 2 π ξ | − α {\displaystyle {\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }}

であるので、畳み込み定理より

I α f ^ ( ξ ) = | 2 π ξ | − α f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi )}

が得られる。

リースポテンシャルは、例えば急減少函数に対し、次の半群性を満たす：

I α I β = I α + β .   {\displaystyle I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }.\ }

ただし

0 < R e ⁡ α , R e ⁡ β < n , 0 < R e ⁡ ( α + β ) < n {\displaystyle 0<\operatorname {Re\,} \alpha ,\operatorname {Re\,} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re\,} (\alpha +\beta )<n}

が満たされているものとする。さらに、2 < Re α <n であるなら

Δ I α + 2 = − I α   {\displaystyle \Delta I_{\alpha +2}=-I_{\alpha }\ }

が成立する。また、この函数のクラスに対しては

lim α → 0 + ( I α f ) ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}(I^{\alpha }f)(x)=f(x)}

が成立する。

関連項目

  • ベッセルポテンシャル（英語版）
  • 分数冪積分
  • ソボレフ空間
  • 分数冪シュレディンガー方程式（英語版）

参考文献

  • Landkof, N. S. (1972), Foundations of modern potential theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR0350027 
  • Riesz, Marcel (1949), “L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy”, Acta Mathematica 81: 1–223, doi:10.1007/BF02395016, ISSN 0001-5962, MR0030102 .
  • Solomentsev, E.D. (2001), “Riesz potential”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Riesz_potential 
  • Stein, Elias (1970), Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-08079-8