ループのアイソトピー

数学の 抽象代数学分野に於いて、アイソトピー (または イソトピー 英: isotopy) とは、ループ の代数的概念を分類するために使われる同値関係である。

ループおよび準群のアイソトピーは、 Albert (1943) によって導入された。 [原文 1]

準群のアイソトピー

任意の準群は、あるループとアイソトピックである。

( Q , ⋅ ) {\displaystyle (Q,\cdot )} と ( P , ∘ ) {\displaystyle (P,\circ )} を 準群 とする。 Q から P への 準群ホモトピー (英: quasigroup homotopy) とは、 Q から P への写像の三つ組み (α, β, γ) であって、以下の条件を満たす者である。

α ( x ) ∘ β ( y ) = γ ( x ⋅ y ) ∀ x , y ∈ Q {\displaystyle \alpha (x)\circ \beta (y)=\gamma (x\cdot y)\,\quad \forall x,y\in Q}

準群の準同型 (英: quasigroup homomorphism) とは、単に、これら三つの写像がすべて同じ写像であることと定義する。

アイソトピー (または イソトピー とも発音する、英: isotopy) は、ホモトピーの特殊なケースであって、三つの写像 (α, β, γ) が 全単射　である。二つの準群が アイソトピック (イソトピック 英:isotopic) とは、それらの準群の間にアイソトピーが存在することと定義される。ラテン方格 の言葉で言い換えると、アイソトピー (α, β, γ) は、行の置換 α、列の置換 β、 そして γ は、表内の P の要素集合の置換に相当する。

オートトピー (英: autotopy) は、 ( Q , ⋅ ) {\displaystyle (Q,\cdot )} からそれ自身へのアイソトピーであり。準群のすべてのオートトピーの集合は、自己同型群 を部分群とする群を成す[訳語疑問点] [原文 2]。

主アイソトピー (英: principal isotopy) とは、アイソトピーで特に、γ が Q 上の恒等写像であること。 この場合は、二つの準群は台集合は同じでなければならないが、その乗算は異なる場合もあり得る [原文 3]。

ループのアイソトピー

( L , ⋅ ) {\displaystyle (L,\cdot )} と ( K , ∘ ) {\displaystyle (K,\circ )} をループとし、 ( α , β , γ ) : L → K {\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ):L\to K} をアイソトピーとする。 この時、(そのアイソトピー) は主アイソトピー ( L , ⋅ ) {\displaystyle (L,\cdot )} と ( L , ∗ ) {\displaystyle (L,*)} の ( α 0 , β 0 , i d ) {\displaystyle (\alpha _{0},\beta _{0},id)} と、同型写像 ( L , ∗ ) {\displaystyle (L,*)} と ( K , ∘ ) {\displaystyle (K,\circ )} 間の γ {\displaystyle \gamma } を使って、それらの合成[訳語疑問点] になっている[1] 実際、 α 0 = γ − 1 α {\displaystyle \alpha _{0}=\gamma ^{-1}\alpha } , β 0 = γ − 1 β {\displaystyle \beta _{0}=\gamma ^{-1}\beta } とおいて、演算を ∗ {\displaystyle *} by x ∗ y = α − 1 γ ( x ) ⋅ β − 1 γ ( y ) {\displaystyle x*y=\alpha ^{-1}\gamma (x)\cdot \beta ^{-1}\gamma (y)} で定義する。[要検証 – ノート]

( L , ⋅ ) {\displaystyle (L,\cdot )} と ( L , ∘ ) {\displaystyle (L,\circ )} をループとし、e を 単位元 of ( L , ⋅ ) {\displaystyle (L,\cdot )} とする。さらに ( α , β , i d ) {\displaystyle (\alpha ,\beta ,id)} を ( L , ⋅ ) {\displaystyle (L,\cdot )} to ( L , ∘ ) {\displaystyle (L,\circ )} への主アイソトピーとする。この時 α = R b − 1 {\displaystyle \alpha =R_{b}^{-1}} および β = L a − 1 {\displaystyle \beta =L_{a}^{-1}} ここで a = α ( e ) {\displaystyle a=\alpha (e)} and b = β ( e ) {\displaystyle b=\beta (e)} .[要検証 – ノート]

ループ L が G-loop であるとは、それがすべてのループアイソトープループと同型であることと定義される[原文 4]。

ループの疑似自己同型

L をループ、c を L の元とする。 L の全単射 α は任意の x, y に対して、下記の恒等式を満たすこ時、c を コンパニオン要素 とする右疑似同型 (英: right pseudo-automorphism of L with companion element c)[訳語疑問点] と呼ばれる：

α ( x y ) c = α ( x ) ( α ( y ) c ) {\displaystyle \alpha (xy)c=\alpha (x)(\alpha (y)c)}

同様に、左疑似同型 (英: left pseudo-automorphisms) も定義される。

ユニバーサル性

ループについてのある性質 P が ユニバーサル (普遍的、英: universal) であるとは、その性質が、アイソトピー不変であることと定義される。すなわち、ループ L においてある性質 P が成り立つか否かと、L のイソトープなループでも同様に性質 P が成り立つか否かが一致していることである。明らかに、L の主アイソトープについて P が成り立つかどうかをチェックすれば十分である。[要検証 – ノート]

例として、可換ループのアイソトープは、必ずしも可換とは限らないので、可換性 はユニバーサルではない。 しかし、別の例として、結合性はユニバーサルである。アーベル群であるという性質もユニバーサルな性質である[要検証 – ノート]。 実際、任意の群は、G-loop である [要検証 – ノート]。

アイソトピーの幾何学的実行

与えられたループ L に対して、3-net と呼ばれる 入社幾何（英語版） 学的構造を定義することができる。 逆に、原点と直線クラスの 順序[訳語疑問点] を固定すると、3-net はループを発生させる。 別の原点を選択したり、直線クラスを交換したりすると、非同型座標のループが発生する可能性もある [原文 5]。 しかしながら、座標ループ[訳語疑問点] は常にアイソトピックである。 言い換えると、二つのループがアイソトピックであるのは、幾何学的な観点から同値であるとき、またその時に限る[原文 6]。

代数学と幾何学の概念の間の対応は下記の通りである。

  • ループのオートトピーの成す群は、3-net の 共線変換（英語版） を保存する 群の方向[訳語疑問点] に対応 [原文 7]
  • 疑似自己同型は、座標系の二つの軸を固定する共線変換に対応。
  • コンパニオン要素の集合は、共線変換群における軸のスタビライザの軌道に対応[原文 8]。
  • ループが G-loop である iff. 共線変換の群の作用が 3-net の点の集合に推移的に作用するとき、またその時に限る。
  • 性質 P がユニバーサルである iff. 原点の選択に依存しない [原文 9]。

関連項目

  • Isotopy of an algebra

脚注

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原文

  1. ^ 未訳: based on his slightly earlier definition of isotopy for algebras, which was in turn inspired by work of Steenrod.
  2. ^ The set of all autotopies of a quasigroup form a group with the automorphism group as a subgroup.
  3. ^ 原文: In this case the underlying sets of the quasigroups must be the same but the multiplications may differ.
  4. ^ 原文: A loop L is a G-loop if it is isomorphic to all its loop isotopes.
  5. ^ 原文: Choosing a different origin or exchanging the line classes may result in nonisomorphic coordinate loops.
  6. ^ 原文: In other words, two loops are isotopic if and only if they are equivalent from geometric point of view.
  7. ^ 原文: The group of autotopism of the loop corresponds to the group direction preserving collineations of the 3-net.
  8. ^ 原文: The set of companion elements is the orbit of the stabilizer of the axis in the collineation group.
  9. ^ 原文: The property P is universal if and only if it is independent on the choice of the origin

出典

  1. ^ Then it is the product of the principal isotopy ( α 0 , β 0 , i d ) {\displaystyle (\alpha _{0},\beta _{0},id)} from ( L , ⋅ ) {\displaystyle (L,\cdot )} and ( L , ∗ ) {\displaystyle (L,*)} and the isomorphism γ {\displaystyle \gamma } between ( L , ∗ ) {\displaystyle (L,*)} and ( K , ∘ ) {\displaystyle (K,\circ )} .

参考文献

  • Albert, A. A. (1943), “Quasigroups. I.”, Trans. Amer. Math. Soc. 54: 507–519, doi:10.1090/s0002-9947-1943-0009962-7, MR0009962 
  • Kurosh, A. G. (1963), Lectures on general algebra, New York: Chelsea Publishing Co., MR0158000