一般化双曲型分布(いっぱんかそうきょくがたぶんぷ、英: generalized hyperbolic distribution, GH)は、一般化逆ガウス分布(英語版)(GIG分布)による正規分散平均混合(英語版)として定義される連続確率分布で、1977年にBarndoroff-Nielsen(英語版)により導入された。GH分布は金融市場のモデル化によく使われている。
一次元一般化双曲型分布
確率密度関数
一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )=&a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )(\delta ^{2}+(x-\mu )^{2})^{(\lambda -{\frac {1}{2}})/2}\\&\times K_{\lambda -1/2}(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}})\exp(\beta (x-\mu ))\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b57c1c2511004a5e07df267c97d7f391defbb09)
ここで、
![{\displaystyle a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )={\frac {(\alpha ^{2}-\beta ^{2})^{\lambda /2}}{{\sqrt {2\pi }}\alpha ^{\lambda -1/2}\delta ^{\lambda }K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81dbff66c570c4865518207dac3cae85d3dbf8d4)
- Kλ(x) は、第3種の変形ベッセル関数。
位置 (location) パラメータ(実数)
(実数)
(実数)
歪度 (skewness) /非対称性 (asymmetry) パラメータ(実数)
尺度 (scale) パラメータ(実数) ![{\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/104da00557d6a0771aaec81a6b0d33a752c2cdf1)
- λ > 0 のとき、
![{\displaystyle \delta \geq 0,\;|\beta |<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7fd655413596a750b9644dfc049104acd954914)
- λ = 0 のとき、
![{\displaystyle \delta >0,\;|\beta |<\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3967ead1da1888fecd1a09875bacd1ba2add9a4a)
- λ < 0 のとき、
![{\displaystyle \delta >0,\;|\beta |\leq \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7530c5d3065c773b7b3c027d3153277b3d3e2ca7)
モーメント
本節では、以下
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{u}&=\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2}}}\\\zeta &=\zeta _{u=0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d5b9c4d8ebb542d927d188019a695ad498fbd29)
とする。
期待値
期待値は以下の式で与えられる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\mu +{\frac {\delta \beta }{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}{\frac {K_{\lambda +1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\\[0.5em]&=\mu +{\frac {\delta ^{2}\beta }{\zeta }}{\frac {K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e866803ba0c732df9b5337f44dc739a418288c1)
分散
分散は以下の式で与えられる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&={\frac {\delta }{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}{\frac {K_{\lambda +1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}+{\frac {\delta ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-\beta ^{2})}}\left[{\frac {K_{\lambda +2}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}-\left({\frac {K_{\lambda +1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\delta ^{2}}{\zeta }}{\frac {K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}+{\frac {\delta ^{4}\beta ^{2}}{\zeta ^{2}}}\left[{\frac {K_{\lambda +2}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}-\left({\frac {K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c21c0609cc0a5f32e59be086b833e187d31f2d2c)
モーメント母関数
モーメント母関数は以下の式で与えられる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{GH}(u)&=\exp(u\mu )\left({\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2})}}\right)^{\lambda /2}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\\[0.5em]&=\exp(u\mu )\left({\frac {\zeta }{\zeta _{u}}}\right)^{\lambda }{\frac {K_{\lambda }(\zeta _{u})}{K_{\lambda }(\zeta )}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05c10045747d9974e189f44ac4d59c4e207f762)
特性関数
特性関数は以下の式で与えられる。
![{\displaystyle \varphi (u)=\exp(iu\mu )\left({\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2})}}\right)^{\lambda /2}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72e92cb9b4a4219021aab543dc7c086128ca6fa)
特別なケース
λ = 1 の場合
双曲型分布(英語版) (HYP) となる。導出には、ベッセル関数の性質[1]を利用する。
- 確率密度関数
![{\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )&=\mathrm {hyp} (x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}{2\delta \alpha K_{1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\exp(-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu ))\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccac13364d94bfaf278e1bbfd1afdca42230b4fc)
λ=1, α=1, β=0, δ=0 の場合はラプラス分布 Laplace(μ, 1) となる。
λ = −1/2 の場合
正規逆ガウス分布(英語版) (NIG) となる。導出には、ベッセル関数の性質[1]を利用する。
- 確率密度関数
![{\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )&=\operatorname {nig} (x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\alpha \delta }{\pi }}\exp(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}+\beta (x-\mu )){\frac {K_{1}(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}})}{\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0676b9467b4e445d3537c31b262938f061c8da54)
λ = −1/2, α = β =0 の場合
正規逆ガウス分布 (NIG) の特別な場合として、コーシー分布となる。
λ = −ν/2, α → |β| の場合
自由度 ν の非対称なスチューデントのt分布となる。(β ≠ 0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;&\lambda ={\frac {-\nu }{2}},\alpha \to |\beta |,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\delta ^{\nu }|\beta |^{(\nu +1)/2}K_{(v+1)/2}\left({\sqrt {(\delta ^{2}+(x-\mu )^{2})\beta ^{2}}}\right)\exp(\beta (x-\mu ))}{2^{(v-1)/2}\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi }}\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)^{(\nu +1)/2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d149589476fc7ea4fcc2ee65ee66e47b391143)
λ = −ν/2, α = β = 0, δ = √ν の場合
自由度 ν の(対称な)スチューデントのt分布となる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;&\lambda ={\frac {-\nu }{2}},\alpha =0,\beta =0,\delta ={\sqrt {\nu }},\mu )\\&={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\delta \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left[1+{\frac {(x-\mu )^{2}}{\delta ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\\&={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {(x-\mu )^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02dd030b635d4d313d99cd76350a9eb2f7bf605)
α → ∞, δ → ∞, δ/α → σ2 の場合
平均 μ + βσ2、分散 σ2 の正規分布となる。
参考文献
(英語)
- The Generalized Hyperbolic Model: Estimation, Financial Derivatives, and Risk Measures (PDF) , Karsten Prause, Oktober 1999.
- Generalized Hyperbolic and Inverse Gaussian Distributions: Limiting Cases and Approximation of Processes (PDF) , Ernst Eberlein and Ernst August v. Hammerstein, revised April 2003.
- Absolute moments of generalized hyperbolic distributions and approximate scaling of normal inverse Gaussian Lévy-Processes (PDF) , Ole Eiler Barndorff-Nielsen and Robert Stelzer, April 25, 2004.
- Moments of the Generalized Hyperbolic Distribution(PDF), David Scott, Department of Statistics, The University of Auckland, July 3, 2008.
- Moments of the Generalized Hyperbolic Distribution (PDF) , Scott, David J, Wurtz, Diethelm, Dong, Christine and Tran,
Thanh Tam, Dec 09, 2009.
(日本語)
- GIG分布とGH分布に関する解析 (PDF) 、増田 弘毅、統計数理 (2002) 第 50 巻 第 2 号 165–199 ©2002 統計数理研究所 特集「ファイナンス統計学」
脚注
a b
外部リンク
- Wolfram Demonstration Project - Generalized Hyperbolic Distribution(GH確率密度関数のグラフを見ることができる。)