積分因子

微分方程式
ナビエ–ストークス方程式。障害物の周囲の気流のシミュレーションに用いられる。
範囲 自然科学 工学 天文学 物理学 化学 生物学 地質学 応用数学 連続体力学 カオス理論 力学系 社会科学 経済学 個体群動態論
分類
タイプ 常 偏 微分代数（英語版） 積分微分 分数階 線型 非線形 変数のタイプにより 独立変数と従属変数（英語版） 自律微分方程式 複素 Coupled / Decoupled 完全（英語版） 斉次（英語版） / 非斉次（英語版） 特徴 階数（英語版） 作用素 記法
過程との関係 差分 (離散類似) 確率 確率偏（英語版） 遅延（英語版）
解
一般的な話題 ピカール＝リンデレーフの定理 コーシー＝コワレフスカヤの定理 ペアノの存在定理 ロンスキアン Phase portrait（英語版） 相空間 リャプノフ / 漸近安定性 / 指数安定性（英語版） 収束率（英語版） 級数（英語版） / 積分解 数値積分 ディラックのデルタ関数
解法（英語版） Inspection 特性曲線法 広田の方法 常微分方程式の数値解法 オイラー ルンゲ・クッタ 線型多段法 狙い撃ち法 偏微分方程式の数値解法 有限差分 (クランク・ニコルソン（英語版）) 有限要素 有限体積 ガレルキン（英語版） 可積分アルゴリズム 精度保証付き数値計算 計算機援用証明 積分因子 積分変換 摂動論 変数分離 未定係数
人物 (海外) アイザック・ニュートン レオンハルト・オイラー エミール・ピカール ユゼフ・マリア・ハーネー＝ウロンスキー エルンスト・リンデレフ（英語版） ルドルフ・リプシッツ オーギュスタン＝ルイ・コーシー ジョン・クランク（英語版） フィリス・ニコルソン（英語版） カール・ルンゲ マルティン・クッタ ソフィア・コワレフスカヤ ポール・パンルヴェ イズライル・ゲルファント ウラジーミル・アーノルド ヴォルフガンク・ウォルター テレンス・タオ ピーター・オルバー
日本人 福原満洲雄 溝畑茂 加藤敏夫 藤田宏 増田久弥 木村俊房 広田良吾 佐藤幹夫 神保道夫
表 話 編 歴

積分因子 (せきぶんいんし、英: integrating factor) とは微分方程式の解法に用いられる関数である。常微分方程式の解法で最もよく用いられ、積分因子を掛けることにより不完全微分から完全微分（積分するとスカラー場を与える）を得ることができる。特に熱力学の分野で用いられ、そこではエントロピーを完全微分にするために温度が積分因子となる。

2変数の方程式の場合には積分因子は必ず存在する^[1]。

カラテオドリの定理

${\displaystyle n}$ 次元多様体 ${\displaystyle M}$ の領域 ${\displaystyle U}$ で定義された 1-形式 ${\displaystyle \psi }$ について

が成立するような関数 ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ (ただし ${\displaystyle f\neq 0}$) が存在するとき、${\displaystyle 1/f}$ を ${\displaystyle \psi }$ の積分因子と呼ぶ^[2][3][4]。1-形式 ${\displaystyle \psi }$ の積分因子の存在に関して、カラテオドリの定理は以下の3命題が同値であることを主張する^[4]。

1. ${\displaystyle M}$ の任意の点 ${\displaystyle x}$ について、点 ${\displaystyle x}$ の近傍 ${\displaystyle V}$ が存在し、${\displaystyle V}$ 内の任意の ${\displaystyle x}$ の近傍 ${\displaystyle W}$ に、区分的 ${\displaystyle C^{\infty }}$-級曲線 ${\displaystyle \gamma }$ であって ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ が定義されるすべての点で ${\displaystyle \psi \{{\dot {\gamma }}(t)\}=0}$ を満たすような曲線 ${\displaystyle \gamma }$ によって点 ${\displaystyle x}$ と結ばれることのないような点 ${\displaystyle y\in W}$ が存在する。
2. ${\displaystyle \psi \wedge d\psi =0}$
3. 任意の点 ${\displaystyle x\in M}$ にある近傍 ${\displaystyle V}$ が存在し、${\displaystyle \psi }$ の ${\displaystyle V}$ への制限は積分因子を持つ。

この定理は1909年にコンスタンティン・カラテオドリによって熱力学第二法則の定式化のために導入された^[5][6]。${\displaystyle \psi }$ が閉形式（すなわち ${\displaystyle d\psi =0}$ が成立するもの）であればポアンカレの補題により積分因子 ${\displaystyle 1}$ が存在する^[7]。また ${\displaystyle n\leq 2}$ のときカラテオドリの定理によりすべての 1-形式について積分因子の存在が保証される（これはJohann Friedrich Pfaffによって最初に示された）^[2][3]。

積分因子を用いた常微分方程式の解法の例

次のような1階の線形常微分方程式を考える。

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)\quad \quad \quad (1)}$

この方程式に対し、適当な積分因子${\displaystyle M(x)}$を (1) 式の両辺に掛け、左辺に積の微分の公式を適用できるようにすると、

${\displaystyle M(x)y'+M(x)P(x)y=M(x)Q(x)\quad \quad \quad (2)}$

${\displaystyle (M(x)y)'=M(x)Q(x)\quad \quad \quad (3)}$

となるから、(3) 式を積分して

${\displaystyle yM(x)=\int Q(x)M(x)\,dx}$

となり、これよりもとの微分方程式の解として

${\displaystyle y={\frac {\int Q(x)M(x)\,dx}{M(x)}}\,}$

が得られる。

次に積分因子${\displaystyle M(x)}$を具体的に求める。(2), (3) 式それぞれの左辺が等しくなるように${\displaystyle M(x)}$をとっていることから、

${\displaystyle M'(x)y+M(x)y'=M(x)y'+M(x)P(x)y\quad \quad \quad }$

となり、${\displaystyle M(x)}$がつぎの微分方程式

${\displaystyle M'(x)=M(x)P(x)\quad \quad \quad (4)\,}$

を満たすことがわかる。この式を変形すると、

${\displaystyle {\frac {M'(x)}{M(x)}}=P(x)\quad \quad \quad (5)\,}$

${\displaystyle (\ln M(x))'=P(x)}$

したがって

${\displaystyle M(x)=\exp \left(\int P(x)\,dx\right)}$

となる。

脚注

外部リンク

• Joakim Munkhammar. "Integrating Factor". mathworld.wolfram.com (英語).

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