算術幾何平均

数学において算術幾何平均（さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean）とは、2 つの複素数（しばしば正の実数）に対して算術平均（相加平均）と幾何平均（相乗平均）を繰り返し用いて作られる数列の極限のこと。

定義

$|\arg(b/a)|\neq \pi$ である複素数 $a,\ b$ について

$a_{0}=a,\quad b_{0}=b$
$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\quad (n\geq 0)$

と定めれば数列 $\{a_{n}\}$ と $\{b_{n}\}$ は同じ値に収束する。その極限を $a,\ b$ の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均 $b_{n}$ の根号の符号は算術平均 $a_{n}$ の側にあるものを選ぶものとする。

$M(a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

$\Re (b/a)>0$ の場合、算術幾何平均は次式の楕円積分で表される。

$M(a,b)={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

$\Re (b/a)=0$ の場合は、次式になる。

${\begin{aligned}M(a,b)&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\cos ^{2}\theta +ab\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\left({\frac {a+b}{2}}\right){\sqrt {1-\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\\\end{aligned}}$

概要

$a,\ b$ が正の実数である場合、

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\geq {\sqrt {a_{n}\cdot b_{n}}}=b_{n+1}$

が成り立ち（相加・相乗平均の関係式）、

$a_{n}\geq a_{n+1},$
$b_{n+1}\geq b_{n}$

となることから

$a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq b_{2}\geq b_{1}\geq b_{0}$

という関係が成り立っている。{a_n} は下に有界な単調減少数列であり、{b_n} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{a_n} の極限を α とし、{b_n} の極限を β とすると定義の漸化式から

$\alpha ={\frac {\alpha +\beta }{2}}$
$\beta ={\sqrt {\alpha \beta }}$

が両立しなければならない。2 式とも整理すれば α = β となるので、2 つの数列 {a_n}, {b_n} は n → ∞ とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。

性質

正の定数 $c>0$ に対し

$M(ca,cb)=cM(a,b)$

が成り立つ。

この数列の収束は

$|a_{n+1}-b_{n+1}|={\frac {(a_{n}-b_{n})^{2}}{2({\sqrt {a_{n}}}+{\sqrt {b_{n}}})^{2}}}\leq C(a_{n}-b_{n})^{2}$

を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。

また次のことが知られている。

${\frac {\pi }{2}}=M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})\int _{0}^{1}{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^{2}z^{2})}}}.$

右辺の積分は、楕円積分であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、数値計算による円周率の計算に用いられることがある。

証明

複素数 $a,\ b$ の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。

$a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}=(a_{n}+b_{n})(a_{n}-b_{n})$
$a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}=\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)^{2}-a_{n}b_{n}={\frac {(a_{n}-b_{n})^{2}}{4}}$

$\left|a_{n}-b_{n}\right|<\left|a_{n}+b_{n}\right|$ となるように $b_{n}$ の根号の符号を決めると約束したので、

${\frac {\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}{\left|a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}\right|}}={\frac {\left|a_{n}-b_{n}\right|}{4\left|a_{n}+b_{n}\right|}}<{\frac {1}{4}}$

である。 $d_{n}$ を $a_{n}$ の階差とすれば

$d_{n}=a_{n+1}-a_{n}=-{\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}$
${\frac {\left|d_{n+1}\right|}{\left|d_{n}\right|}}={\frac {\sqrt {\left|a_{n+2}^{\;2}-b_{n+2}^{\;2}\right|}}{\sqrt {\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}}}<{\frac {1}{2}}$

である。したがって、級数 $\sum {d_{n}}$ は絶対収束する。すなわち、数列 $\{a_{n}\}$ は収束し、数列 $\{b_{n}=2a_{n+1}-a_{n}\}$ は $\{a_{n}\}$ と同じ値に収束する。

算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、 $a,\ b$ は正の実数とする。

${\begin{aligned}I(a,b)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {(a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta )(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}}}\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{{\cos ^{2}\theta }{\sqrt {(a^{2}+b^{2}\tan ^{2}\theta )(1+\tan ^{2}\theta )}}}}\\\end{aligned}}$

$x=\tan \theta$ と置換すると、

${\begin{aligned}I(a,b)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}x^{2})(1+x^{2})}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}x^{2}+b^{2}x^{2}+b^{2}x^{4}+a^{2}}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {(a+b)^{2}x^{2}+(bx^{2}-a)^{2}}}}\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x{\sqrt {\left(\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+\left(\displaystyle {\frac {bx^{2}-a}{2x}}\right)^{2}}}}}\\\end{aligned}}$

$t={\frac {bx^{2}-a}{2{\sqrt {ab}}\;x}}$ と置換することによって、

$x={\sqrt {ab}}\;t+{\sqrt {ab+abt^{2}}},\quad dx=\left({\sqrt {ab}}+{\frac {\sqrt {ab}}{\sqrt {ab+abt^{2}}}}\right)dt={\frac {x}{\sqrt {1+t^{2}}}}dt$
${\begin{aligned}I(a,b)&={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {\left(\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+abt^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {\left(\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+abt^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}}}\\&=I\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)\end{aligned}}$

となる。したがって、

${\begin{aligned}I(a,b)&=I(a_{1},b_{1})=\lim _{n\to \infty }I(a_{n},b_{n})=\lim _{n\to \infty }I\left(M(a,b),M(a,b)\right)\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {M(a,b)^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}}}={\frac {\pi }{2M(a,b)}}\\\end{aligned}}$

$a,\ b$ が複素数である場合は、積分路 $t={\frac {bx^{2}-a}{2{\sqrt {ab}}\;x}}$ と実軸との間に（留数をもつ）極がないことを確かめなければならない。 $u=\Re \left(b/a\right)$ , $v=\Im \left(b/a\right)$ とすれば、

${\begin{aligned}{\frac {t}{\frac {a+b}{2{\sqrt {ab}}}}}&={\frac {(b/a)x^{2}-1}{(1+b/a)x}}={\frac {(u+iv)x^{2}-1}{(1+u+iv)x}}\\&={\frac {(ux^{2}-1+ivx^{2})(1+u-iv)}{\left((1+u)^{2}+v^{2}\right)x}}\\&={\frac {(u+u^{2}+v^{2})x^{2}-(1+u)+ivx^{2}+iv}{(1+2u+u^{2}+v^{2})x}}\\\end{aligned}}$

これに $x^{2}={\frac {1+u}{u+u^{2}+v^{2}}}$ を代入すると

${\begin{aligned}{\frac {t}{\frac {a+b}{2{\sqrt {ab}}}}}&={\frac {iv{\frac {1+2u+^{2}+v^{2}}{u^{2}+v^{2}+u}}}{(1+2u+u^{2}+v^{2}){\sqrt {\frac {1+u}{u+u^{2}+v^{2}}}}}}\\&={\frac {iv}{\sqrt {(1+u)(u+u^{2}+v^{2})}}}\\\end{aligned}}$

であり、 $u>0$ となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極 $\pm i\,{\frac {a+b}{2}}$ の間（原点に近いところ）を通る。また、 $u'=\Re \left({\sqrt {b/a}}\right)$ , $v'=\Im \left({\sqrt {b/a}}\right)$ とすると、

${\begin{aligned}t&={\frac {{\sqrt {b/a}}\;x^{2}-{\sqrt {a/b}}}{2x}}={\frac {(u'+iv')^{2}x^{2}-1}{(u'+iv')x}}\\&={\frac {(u'^{2}+v'^{2})(u'+iv')x^{2}-(u'-iv')}{2(u'^{2}+v'^{2})x}}\\\end{aligned}}$

これに $x^{2}={\frac {1}{u'^{2}+v'^{2}}}$ を代入すれば

${\begin{aligned}t&={\frac {iv'}{\sqrt {u'^{2}+v'^{2}}}}\\\end{aligned}}$

であるから、積分路は極 $\pm {i}$ の間を通る。

算術調和平均

$|\arg(b/a)|\neq \pi$ である複素数 $a,\ b$ について算術平均と調和平均を繰り返して得られる数列

$a_{0}=a,\quad b_{0}=b$
$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad b_{n+1}={\frac {2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}}\quad (n\geq 0)$
の極限について $\operatorname {AHM} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

である。つまり、算術調和平均は $a,\ b$ の幾何平均に等しい。このことは

$a_{n+1}b_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\cdot {\frac {2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}}=a_{n}b_{n}$
$\operatorname {AHM} (a,b)=\lim _{n\to \infty }{\sqrt {a_{n}b_{n}}}={\sqrt {ab}}$

から明らかである。

調和幾何平均

$|\arg(b/a)|\neq \pi$ である複素数 $a,\ b$ について幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列

$a_{0}=a,\quad b_{0}=b$
$a_{n+1}={\frac {2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}},\quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\quad (n\geq 0)$
の極限について $\operatorname {HGM} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

である。つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、 $a_{n},\ b_{n}$ を逆数にして

$(1/a_{n+1})=(1/a_{n})+(1/b_{n}),\quad (1/b_{n+1})={\sqrt {(1/a_{n})(1/b_{n})}}$
$\operatorname {HGM} (a,b)={\frac {1}{\operatorname {AGM} \left({\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}}\right)}}={\frac {ab}{\operatorname {AGM} \left(b,a\right)}}$