逆温度

逆温度
thermodynamic beta, inverse temperature
量記号 β
次元 L −2 M −1 T 2
SI単位 毎ジュール (J−1)
CGS単位 毎エルグ (erg−1)
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逆温度（ぎゃくおんど、英語: inverse temperature） は、統計力学によって定義される物理量。統計集団を用いて平衡状態を記述する際に重要な役割を担うパラメーターとして現れる。逆温度βは絶対温度Tとボルツマン定数kBを用いて次のように定義される。

β = 1 k B T {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}

統計力学における定義

統計力学では、逆温度βは接触した二つの系の平衡状態を考えることで定義される。

熱的に接触した二つの系1と2を考え、それぞれのエネルギーをE1、E2とする。E1とE2の和を一定であるとしてEとおく。それぞれの系の状態数をΩ1、Ω2とすると、状態数Ωiはエネルギー Ei を含む関数であるので、二つの結合した系の状態数は次のように表せる。

Ω ( E 1 + E 2 ) = Ω 1 ( E 1 ) Ω 2 ( E 2 ) = Ω 1 ( E 1 ) Ω 2 ( E − E 1 ) {\displaystyle \Omega (E_{1}+E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1})\,}

ここで、平衡状態に達した系の状態数は停留値（英語版）をとると仮定すると、平衡状態において上式の両辺をE1で微分して、

∂ ∂ E 1 Ω ( E 1 + E 2 ) = Ω 2 ( E 2 ) ∂ ∂ E 1 Ω 1 ( E 1 ) + Ω 1 ( E 1 ) ∂ ∂ E 2 Ω 2 ( E 2 ) ⋅ ∂ E 2 ∂ E 1 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\Omega (E_{1}+E_{2})=\Omega _{2}(E_{2}){\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {\partial }{\partial E_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {\partial E_{2}}{\partial E_{1}}}=0}

となる。一方、E1 + E2 = E（Eは定数）であるので、

∂ E 2 ∂ E 1 = − 1 {\displaystyle {\frac {\partial E_{2}}{\partial E_{1}}}=-1}

となり、これを用いると、

Ω 2 ( E 2 ) ∂ ∂ E 1 Ω 1 ( E 1 ) − Ω 1 ( E 1 ) ∂ ∂ E 2 Ω 2 ( E 2 ) = 0 {\displaystyle \Omega _{2}(E_{2}){\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {\partial }{\partial E_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0}

すなわち、

∂ ∂ E 1 ln ⁡ Ω 1 ( E 1 ) = ∂ ∂ E 2 ln ⁡ Ω 2 ( E 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\ln \Omega _{1}(E_{1})={\frac {\partial }{\partial E_{2}}}\ln \Omega _{2}(E_{2})}

となる。この関係式よりβを次のように定義する。

β = ∂ ∂ E ln ⁡ Ω ( E ) {\displaystyle \beta ={\frac {\partial }{\partial E}}\ln \Omega (E)}

熱力学との関係

上の項で統計力学的に定義したβを、熱力学の関係式と比較することで、逆温度βと絶対温度Tの関係式が求まる。

エントロピーの定義式

S = k B ln ⁡ Ω {\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega \,}

より、lnΩをβの定義式へ代入すると、

β = 1 k B ∂ S ∂ E {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {\partial S}{\partial E}}}

となる。これを熱力学の公式

∂ S ∂ E = 1 T {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial E}}={\frac {1}{T}}}

と比較すると、βとTの関係式が次のように求まる。

β = 1 k B T {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}

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